§ 6. Подграфы, операции над графами

Определение 1.12. Граф называется подграфом графа , если и .

Если или , то граф называется собственным подграфом G.

Если , то называется остовным подграфом G.

Подграф называется правильным подграфом G, если он содержит все возможные ребра G.

Полный подграф называется кликой графа G.

Граф G приведен на рис. 1.14

Рис. 1.14. Граф с пятью вершинами.

На рис. 1.15 – 1.19 изображены различные подграфы графа G:

Рис. 1.15. Собственный неправильный Рис. 1.16. Остовной неправильный

подграф. подграф.

Рис. 1.17. Правильные подграфы.

Рис. 1.18. Клика графа G.

Определение 1.13. Дополнением графа называется граф с тем же множеством вершин , в котором любые две вершины смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в исходном графе G, обозначается .

На рис. 1.19 изображен граф, являющийся дополнением к графу G, представленному на рис. 1.14:

Рис. 1.19. Дополнение к графу G.

Рассмотрим следующие операции над графами:

1. Объединением графов с непересекающимися множествами вершин ( ) называется граф , в котором множество вершин и множество ребер образованы соответственно объединением множеств вершин и ребер графов, входящих в объединение:

.

2. Соединением графов называется граф , в котором , а множество ребер состоит из всех ребер и

и всех ребер, соединяющих вершины из с вершинами из :

.

Графы и приведены на рис. 1.20, а и 1.20, б соответственно.

а: б:

Рис. 1.20. Неориентированные графы.

На рис. 1.21 и 1.22 приведены иллюстрации различных операций над графами:

Рис. 1.21. Объединение графов и . Рис. 1.22. Соединение графов и .

3. Удаление вершины v из графа приводит к графу (обозначается ), содержащему все вершины исходного графа кроме удаленной вершины v и все ребра, кроме инцидентных удаленной вершине:

.

Пример 1.7. Рассмотрим граф G на рис.1.14. Его клика, изображенная на рис. 1.18, получена из исходного графа путем удаления вершины {5}: .

Заметим, что при удалении вершины всегда получается правильный подграф.

4. Удаление ребра e из графа G дает остовной граф , содержащий все ребра кроме ребра e.

5. Добавление вершины v в граф G приводит к графу , являющимся объединением G и графа : (обозначается ).

6. Добавление ребра e в граф G дает граф , во множество ребер которого добавлено ребро е.

На рис. 1.23 – 1.27 проиллюстрированы операции над графами:

Рис. 1.23. Граф G.

Рис. 1.24. Граф . Рис. 1.25. Граф .

Рис. 1.26. Граф . Рис. 1.27. Граф .