§ 2. Розподіл імовірностей випадкових похибок

_{Результати вимірів є випадковими оскільки передбачити їх величину неможливо. Тоді і їх похибки будуть випадковими і для них можна вказати лише межу, в яких вони змінюються згідно з першою властивістю (§ 1).}

_{Неперервні випадкові похибки можна характеризувати законом розподілу, як об’єктивно існуючим зв’язком між випадковими величинами і їх імовірностями.}

_{При багаторазових випробуваннях закон розподілу ряду істинних випадкових похибок можна характеризувати функціями:}

1. _{Інтегральною функцією розподілу}

_{F () = P (α  ). (α < ). (6.11)}

2. _{Функцією щільності}

_{, (6.12)}

_{де } – _{приріст випадкової похибки .}

_{Звернемося до постулату Гаусса, згідно з яким найбільш імовірним значенням шуканої величини є середнє арифметичне із результатів повторних вимірювань. Скористаємося теоремою:}

_{Якщо випадкові похибки відповідають постулату Гаусса, то законом розподілу випадкових похибок буде нормальний закон. В методі максимальної правдоподібності Фішера (ММП, § 3, розд.4) також доведено, що для нормального закону розподілу випадкових величин оцінкою параметра є середнє арифметичне (формула 4.18).}

_{Функція щільності нормального розподілу випадкових похибок визначиться за формулою}

_{. (6.13)}

_{Для нормованих похибок отримаємо}

_{, (6.14)}

_{оскільки (t) = 1 , a M(t) = 0.}

_{Графіки функції щільності показано на рис. 6.2}

_{а – для випадкових похибок }

_{б – для нормованих випадкових похибок t}

_{а б}

_{Рис. 6.2}

_{Крива похибок Гаусса має такі властивості :}

_{1. Функція  () або  (t) парна, тобто симетрична відносно осі ординат}

_{ (+) =  (-), або  (+t) =  (-t). (6.15)}

2. _{Як при додатніх, так і від’ємних значеннях функції щільності  () та  (t) додатні лежать над віссю абсцис (рис.6.2).}

3. _{Значення функцій  () та  (t) максимальні при = 0 та t = 0.}

4. _{Крива похибок має дві точки перегину: справа та зліва від осі ординат, при цьому точки відповідають значенням випадкової середньої квадратичної похибки, тобто || = m; | t | = 1.}

5. _{Дотичні до точки перегину відсікають на осі абсцис відрізки, рівні подвійній середній квадратичній похибці (  2m).}

_{Інтегральну функцію нормованого нормального закону розподілу похибок t1, t2, …, tn виражають функцією Лапласа}

_{. (6.16)}

_{Значення функції (6.16) табульовані і приведені в таблиці дод. 1.}

_{За таблицею можна по заданій надійній імовірності визначати інтервал, в якому знаходяться нормовані похибки від – t до + t і навпаки, задавшись інтервалом  t визначати ймовірність їх появи р.}

_{  = tm,}

_{або - tm    + tm, (6.17)}

_{де m – середня квадратична похибка вимірів.}