2. Визначення граничних похибок

При математичній обробці результатів вимірів слід виключати із обробки грубі помилки. Методика вимірювань дозволяє своєчасно виключити “промахи” при яких окремі результати значно відрізняються від інших. Разом з тим в статистичному ряду вимірів можуть бути результати вимірів, які досить близькі між собою, але за вимогами точності або технології виконання робіт будуть грубими. Тому поняття “груба помилка” досить умовне і залежить від прийнятої надійної ймовірності.

При визначенні цільності нормованого нормального закону розподілу користувалися нормованими похибками

, (5.13)

де _і – похибка виміру; m – середня квадратична похибка.

При визначених умовах вимірів завжди існує деяка гранична похибка |_гр.|, яку не можуть перевищити випадкові похибки. Тоді за функцією Лапласа нормованого нормального закону розподілу можна визначити інтервал Z_q, залежність від рівня значності q (дод. 6).

Граничне значення похибки виміру визначиться за формулою

|_гр.|  Z_q m. (5.14)

Граничне значення різниці двох суміжних вимірів d_гр. При заданому рівні значності q визначається за формулою

. (5.15)

Похибки, що перевищують відповідно 2 m, 2,5 m та 3 m при q = 0,05; 0,01 та 0,0027 вважаються грубими за відсутності систематичних похибок.

Приклад.4 Визначити можливе граничне значення похибок вимірів при компаруванні рулетки за умовою попереднього прикладу 1.

Розв’язання. За формулою (5.14) при q = 1 – p = 0,05 та m = 5 мм отримаємо

|_гр.|  2,5 m = 2,5  5 = 12,5 мм.

Для виявлення грубих похибок в ряду вимірів застосовують критерій Греббса за статистикою Z

, або , (5.16)

де х_min та x_max – мінімальне та максимальне значення в ряду вимірів.

Критична область визначається за формулою

Z > Z_q. (5.17)

Статистику Z_q визначають за таблицею дод. 7 (по аргументах q та n).

3. Перевірка рівноточності рядів вимірів

Перевірка гіпотези про рівноточність рядів вимірів має велике практичне значення, оскільки їх математична обробка базується на принципово різних формулах. Дотриматись рівноточності рядів вимірів досить важко (практично неможливо), тому завжди необхідно рахуватись з деякими коливаннями їх статистичних характеристик. При сумісному використанні двох і більше рядів вимірів необхідно впевнитись в їх рівноточності. Існують різні методи перевірки рівноточності вимірів:

а) F– критерій

Маємо два ряди вимірів однієї і тієї ж величини

х₁₁, х₁₂, ...,

х₂₁, х₂₂, ...,

Для кожного ряду обчислюють середні арифметичні та дисперсії і за формулою Бесселя, причому вибирають так, щоб > .

Обчислюють дисперсійне відношення або статистику

. (5.18)

Виміри будуть рівноточними, коли

F  F_q . (5.19)

Статистику F_q вибирають із таблиць дод. 8 за рівнем значності q і числом ступенів вільності k₁ = n – 1 та k₂ = n₂ – 1.

б) Критерій Романовського

В попередньому випадку використовували статистику F. Можна обчислити значення

та , (5.20)

та статистику

. (5.21)

Ряди вимірів будуть нерівноточними, коли

R  3. (5.22)

Таким чином при застосуванні критерію Романовського відпадає необхідність у використанні спеціальних статистичних таблиць. Однак число вимірів в другому ряді повинно бути більше 5-ти.

Приклад 5. При дослідженнях нахилу фундаментної плити за двома реперами виконано відповідно n₁ = 5 та n₂ = 7 циклів спостережень. В результаті попередньої обробки рядів вимірів обчислені дисперсії ; . Визначити рівноточність рядів вимірів при р = 0,95.

Розв’язання. Застосуємо F-критерій. За формулою (5.18) обчислюємо статистику = 1.8. Із таблиць дод. 8 при q = 1 – p = 0,05 і числом ступенів вільності k₁ = n₁ – 1 = 4 та k₂ = n₂ – 1 = 6 маємо F_q = 3,3. Оскільки F < F_q ( 1,8 < 3,3), то ряди вимірів будуть рівноточними. В критерії Романовського за формулами (5.20) отримаємо

; = 2,0.

За формулою (5.21) = 0,4.

Оскільки R < 3 (0,4 <3), то ряди вимірів будуть рівноточними.

в) Критерій Бартлетта

Його використовують при одночасній перевірці рівноточності декількох рядів вимірів. Наприклад, при дослідженнях деформацій інженерної споруди в її фундаментах може бути закладено n–реперів, по яких виконано S циклів вимірювань

х₁₁, х₁₂, ..., ;

х₂₁, х₂₂, ..., ;

------------------ (5.23)

х_n1, х_n2, ..., .

Для кожного ряду визначають середні арифметичні та дисперсії за формулою , (5.24)

де _ij = x_ij – ; S_i – число вимірів в і-му ряду.

Обчислюють незміщену оцінку дисперсії вектора Х за формулою

, (5.25)

де .

В критерії Бартлетта обчислюють статистику:

, (5.26)

де , (5.27)

або [(N – n) lqm² – S₁ – 1)lq . (5.28)

При S_i > 3 статистика Q наближено має ²-розподіл з числом ступенів вільності k = п – 1.