Розділ 5. Статистична перевірка гіпотез

§ 1. Статистичні дослідження рядів вимірів

Навколишнє середовище, явища природи, закони фізики та інших наук вивчають шляхом випробувань, в результаті яких отримують випадкові величини або статистичний ряд х₁, х₂, ..., х_п. Одночасно може досліджуватися декілька явищ. При цьому отримують декілька статистичних рядів або сукупностей випадкових величин.

Залежно від процесів, що відбуваються при випробуваннях, кожен статистичний ряд підпорядковується тому чи іншому закону розподілу. Його можна визначити шляхом математичної обробки вимірів.

Для отримання надійних результатів і обґрунтованих рішень при математичній обробці результатів експериментів необхідно знати закони розподілу статистичних рядів. Знання закону розподілу необхідно і для застосування методів обробки вимірів.

Всяке передбачення про закон розподілу випадкових величин називають статистичною гіпотезою.

Статистична перевірка гіпотез полягає у визначенні закону розподілу результатів експериментів. Висунуту гіпотезу називають нульовою гіпотезою.

В результаті статистичної перевірки для нульової гіпотези визначають статистику Q. Перевірка нульової гіпотези базується на теорії надійних інтервалів та способах перевірки статистичних гіпотез.

За принципом практичної впевненості для висунутої нульової гіпотези визначають теоретичне значення статистики Q_q. Його визначають за таблицями різних критеріїв перевірки по заданій імовірності р або рівнях значимості q = 1 – p. В разі, коли

(5.1)

нульова гіпотеза приймається. В протилежному випадку вона не підтверджується, тобто відкидається.

Статистична перевірка може виконуватися одним і більше критеріями (методами). При цьому може виникнути дві помилки:

1. Бракування правильної гіпотези. Уникнути її можна підвищенням значення ймовірності р або зниженням рівня значності q.

2. Прийняття неправильної гіпотези. Уникнути її можна застосуванням різних критеріїв перевірки.

Ймовірність прийняття нульової гіпотези підвищується зі збільшенням кількості випробувань і практично надійна, коли п . Надійність перевірки статистичної гіпотези висока при достатньо великій імовірності бракування неправильної гіпотези. Важливе значення має і вибір критерію перевірки.

При математичній обробці геодезичних вимірів найбільш поширені такі перевірки статистичних гіпотез:

1. Визначення систематичної (або постійної) похибки

Залежність від умов експерименту може виконуватися такими способами:

а) систематичні похибки значно спотворюють результат і можуть призвести до недоброякісних оцінок. Систематична похибка може визначатися на компараторі розміром Х і в результаті експериментів буде отримано статистичний ряд х₁, х₂, ..., х_{п .}

При обробці за формулою (4.23) визначають середнє арифметичне і обчислюють різницю

. (5.2)

За формулою (4.39) визначають середню квадратичну похибку окремого виміру m та обчислюють середню квадратичну похибку середнього арифметичного за формулою

. (5.3)

Обчислюють статистику

. (5.4)

Статистику Z_q визначають за таблицею розподілу Стьюдента (дод. 3) за рівнем значимості q та кількістю ступенів вільності k = n – 1.

Нульова гіпотеза про незначний вплив систематичних похибок приймається, коли

Z < Z_q . (5.5)

Довірчий інтервал для систематичної похибки С з імовірністю р = 1 – q визначається за формулою

.

Приклад 1. При компаруванні рулетки на польовому компараторі довжиною L = 120,000 м отримано середнє значення виміряної довжини = 120,012 м із 10 вимірів з середньою квадратичною похибкою m = 5 мм. Визначити наявність систематичної похибки з імовірністю р = 0,95 або q = 1 – p = 0,05.

Розв’язання. За формулою (5.3) визначимо середню квадратичну похибку арифметичного середнього М = = 1,6 мм, а за формулою (5.4) статистику

Z = = = 7,5,

де  = – L = 120,012 – 120,000 = 12 мм.

При q = 0,05 та k = n – 1 = 9 визначаємо Z_q = 2,26. Оскільки Z > Z_q (7,5 > 2,26), то в ряду вимірів є суттєві систематичні похибки, які слід обов’язково враховувати при проведенні вимірювань.

б) Коли невідоме істинне значення Х вимірюваної величини, то виконують два незалежних випробування і отримують статистичні ряди

х₁₁, х₁₂, ..., ;

х₂₁, х₂₂, ..., .

Для них обчислюють та загальну середню квадратичну похибку

М = . (5.6)

Критерієм перевірки служить статистика Z, яка визначається за формулою (5.4). Нульова гіпотеза підтверджується, коли Z  Z_q .

Статистику Z_q визначають за таблицями дод.3 за рівнем значимості q.

в) Коли число випробувань n₁ і n₂ менше 30 (n₁ < 30; n₂ < 30) статистику Z обчислюють за формулою

, (5.7)

де k₁ = n₁ – 1; k₂ = n₂ – 1.

Величину || = приймають за оцінку постійної похибки С, коли значення Z попадає в критичну область

Z > Z_q, (5.8)

де Z_q вибирають із таблиць дод. 3 (за аргументами q і k = n₁ + n₂ – 2).

Приклад 2. Для визначення дії систематичних похибок на базисі L виконано два ряди 10-ти незалежних вимірів. При математичній обробці визначено = 120,010, та середні квадратичні похибки m₁ = 5 мм, m₂ = 3 мм. Визначити наявність дії систематичної похибки з імовірністю р = 0,99.

Розв’язання. Визначаємо мм. Оскільки п < 30, то за формулою (5.7) обчислюємо статистику

Z = = 3,79.

З таблиці дод.3 при q = 1 – p = 0,04 та k = n₁ + n₂ – 2 = 18 знаходимо Z_q = 2,86. Оскільки Z > Z_q (3.79 > 2,86), то при обробці вимірів слід враховувати дію систематичної похибки.

г) Критерій Аббе.

Якщо ж отримано один статистичний ряд і постає питання про визначення наявності систематичної похибки, яка призводить до зміщення центру групування результатів випробувань, то застосовують спосіб послідовних різниць або критерій Аббе.

Для статистичного ряду х₁, х₂, ..., х_п обчислюють: середнє арифметичне , дисперсію m² за формулою Бесселя (4.22) та послідовні різниці

d_i = x_{i +1} – x_i . (5.9)

Обчислюють дисперсію за значеннями послідовних різниць за формулою

. (5.10)

Наявність в результатах вимірів систематичної похибки визначається критерієм Аббе

. (5.11)

Гіпотеза про наявність систематичної похибки визначається критичною областю

 > _q , (5.12)

де _q визначають із таблиць дод. 5 за рівнем значення q та кількістю вимірів n.

Приклад 3. При спостереженнях за нахилом телевізійної вежі отримані значення крену: 45, 50, 52, 50, 53, 60 мм. Визначити наявність крену телевежі при надійній імовірності р = 0,99.

Розв’язання. Оскільки маємо один ряд вимірів, то застосуємо критерій Аббе. Визначимо , V_i, m² та за формулами

мм ; V_i = x_i – ; мм²;

d_i = x_i+1 – x_i; мм² .

Статистика . При q = 1 – p = 1 – 0,99 = 0,01 та n = 6 за таблицями дод. 5 визначаємо _q = 0,28. Оскільки  > _q (0,37 > 0,28), то фактор нахилу осі телевежі встановлено. До речі, при р = 0,95 _q = 0,44. Тоді  < _q (0,37 < 0,44) і фактор наявності систематичного крену телевежі не приймається.

Критерій Аббе доцільно використовувати при дослідженнях деформацій нахилу баштових споруд, коли випадкові похибки значно перевищують за абсолютною величиною можливий систематичний зсув верху башти. Його можна застосувати при дослідженнях стійкості пунктів геодезичних мереж.