Дисперсія системи функцій випадкових величин

Якщо маємо систему декількох нелінійних функцій системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п )

Y = f(Х) = , (3.60)

то спочатку їх приводять до лінійного виду.

Розклавши в ряд систему функцій (3.60) отримаємо систему лінійних функцій:

, (3.61)

де за умови Х = Х₀.

Математичним сподіванням системи випадкових функцій М_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п ) за аналогією з формулою (3.52) буде

, (3.62)

де визначається за формулами (2.15 – 2.17).

Дисперсією системи випадкових функцій D_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) є кореляційна матриця функцій випадкових величин K_y. В матричному вигляді маємо

. (3.63)

В розкритому вигляді матриці елементів формули (3.63) будуть

. (3.64)

Причому, якщо в матриці K_y кореляційні моменти K_ij визначають залежність між випадковими величинами аргументів Х_і і Х_j, то в матриці K_y кореляційні моменти K_ij визначають залежність між випадковими функціями Y_i і Y_j. Величину коефіцієнта кореляції між випадковими функціями Y_i і Y_j обчислюють за формулою

. (3.65)

Приклад 1. Випадкові величини Х та Y пов’язані відношенням

z = x + 2xy + 2y – 1. Ймовірність появи кожної із них однакова, а реалізації приведені в табл.3.1.

Таблиця 3.1

Ном.	1	2	3	4	5
хі	5,0	5,2	4,8	5,1	4,9
уі	1,0	0,8	1,2	0,6	1.4

Необхідно визначити: а) математичні сподівання, дисперсії і стандарти випадкових величин Х і Y; б) кореляційну матрицю K_x і нормовану матрицю системи випадкових величин (X); в) математичне сподівання, дисперсію і стандарт випадкової функції Y.

Розвязання. а) Для визначення математичних сподівань випадкових величин Х і Y використаємо формулу (2.16). Так як ймовірність появи випадкових величин однакова, а число їх N = 5, то ймовірність появи кожної із них в дослідженнях буде дорівнювати

, а = 0,2;

, а = 0,2.

Розрахунки виконані виходячи з того, що сума ймовірностей складає повну групу подій. Тоді за формулою (2.16) маємо

= (5,0 + 5,2 + 4,8 + 5,1 + 4,9) 0,2 = 5,0;

= (1,0 + 0,8 + 1,2 + 0,6 + 0,4) 0,2 = 1,0.

Дисперсії випадкових величин обчислюють за формулою (2.27). Так як = 0,2, то дисперсії дорівнюють:

= [0² + (0,2)² + (-0,2)² + (0,1)² + (-0,1)²]0,2 = 0,02;

= [0² + (-0,2)² + (0,2)² + (-0,4)² + (0,4)²]0,2 = 0,08.

Стандарти будуть дорівнювати:

= 0,14; = 0,26.

б) Для визначення кореляційної матриці K_x обчислимо кореляційний момент між випадковими величинами Х і Y за формулою (3.22). Так як = 0,2, то = 0,2  0,2 = 0,04.

Тоді

K_ху = K_ух = [0 0 + 0,2  (-0,2) + (-0,2)  0,2 + 0,1  (-0,4) + (-0,1)0,4]  0,04 = 0,0064.

Кореляційна матриця K_x згідно з формулою (3.34) буде

= .

За формулою (3.37) обчислимо коефіцієнт кореляції

= - 0,12.

Нормована кореляційна матриця за формулою (3.38) буде

.

в) Математичне сподівання випадкової функції Z згідно з формулами (3.48) і (3.49) буде

M_z = M_x + 2M_x M_y + 2 M_y – 1 – K_xy = 5 + 251 + 21 – 1 – 0,0064 = 15,9936.

Дисперсію випадкової функції Z обчислимо за формулою (3.57)

=

.

При Х₀ = М_x ; Y₀ = M_y

D_Z = (1 + 2 1)² 0,02 + (2 5 + 2)² 0,08 + 2 (1 + 2  1) (2  5 + 2)(- 0,0064) = 11,53.

Тоді стандарт функції Z буде

= 3,36.

Приклад 2. На пункті полігонометрії способом кругових прийомів виміряні кути у₁, у₂ і у₃ (рис.3.4). Найти кореляційну матрицю К_y, коефіцієнт кореляції між кутами r_ij і дисперсію кута у₄ = у₁ + у₂, якщо

в иміряні напрямки х₁, х₂, х₃, х₄ незалежні між собою, а їх стандарт дорівнює .

Рис.3.4

Розв’язання. Так як кути обчислюються через значення виміряних напрямків, то складемо вектор-функцію (3.60):

у = f(x) =

Кореляційна матриця обчислюється за формулою (3.63). Коефіцієнти матриці A обчислюються як часткові похідні А_ij = , так А₁₁ = -1; А₁₂ = + 1 і т.д.

Тоді

.

Виходячи з того, що виміри рівноточні і незалежні між собою, то за формулою (3.36) кореляційна матриця .

За формулою (3.63) обчислимо кореляційну матрицю K_y

K_y = А ² А^Т = 4 =

= 4 = .

По діагоналі розміщені дисперсії кутів. Причому вони рівноточні, так як = 8. Тоді стандарт кута .

Із отриманої матриці K_y видно, що спостерігається залежність тільки між суміжними кутами, так як

K₁₂ = K₂₃ = - 4, а K₁₃ = 0.

Коефіцієнти кореляції між суміжними кутами у₁ і у₂; у₂ і у₃ обчислюють за формулою (3.65)

.

Це означає, що в способі кругових прийомів, залежність між суміжними кутами завжди дорівнює r_ij = -0,5; (j = i + 1) або (i = j +1).

Дисперсія кута у₄ обчислюється за формулою (3.57) або (3.58) і дорівнює

.

Так як = + 1 і = + 1,

то ,

а дисперсія сумарного кута буде

.