Математичне сподівання функції випадкових величин

Якщо маємо функцію у = f (X₁, X₂, …, X_n), то для системи випадкових величин (X₁, X₂,…, X_n) визначають математичне сподівання М_х (3.31) кожної випадкової величини X₁, X₂, …, X_n за формулами (2.15 – 2.17).

Для неперервних випадкових величин маємо:

М [f (X₁, X₂,…, X_n)] = (x₁, x₂,…, x_n)

 j(x₁, x₂,…, x_n) dx₁dx₂ … dx_n, (3.47)

де j(x₁, x₂, …, x_n) – щільність розподілу системи (Х₁, Х₂, …, Х_n).

В теорії ймовірностей розглядають випадки, коли для визначення математичного сподівання не потрібно знання функції розподілу, а досить знати тільки числові характеристики:

1. Математичне сподівання суми як залежних, так і незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

. (3.48)

2. Математичне сподівання добутку двох випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань плюс кореляційний момент

М . (3.49)

Якщо випадкові величини некорельовані, то

М . (3.50)

Для незалежних випадкових величин математичне сподівання функції у = Х₁  Х₂  …  Х_п дорівнює

. (3.51)

В загальному вигляді математичне сподівання майже лінійної функції

y = f(Х₁, Х₂, …, Х_п) при незалежних випадкових величинах (Х₁, Х₂, …, Х_п) обчислюють за формулою

М_y = f ( . (3.52)

Дисперсія функції випадкових величин

Випадкова величина Y є функцією системи випадкових величин

(Х₁ , Х₂ , …, Х_п)

Y = f( Х₁, Х₂ , …, Х_п). (3.53)

В загальному вигляді дисперсія функції Y дорівнює

D_у = М [(Y – M_y )²]. (3.54)

Якщо функція (3.53) нелінійна, то для діапазону практично можливих значень аргументів вона може бути з достатньою точністю лінеарізована за формулою

Y = f(Х₁, Х₂, …, Х_п)  f( + ,

(3.55)

де – значення часткової похідної, визначеної за значеннями Х_і, що співпадають з їх математичними сподіваннями.

Підставимо значення у і М_y із формул (3.55) і (3.52) в формулу (3.54), тоді

 = М . (3.56)

Після піднесення в квадрат і розкриття формули (3.56) маємо

.

Відомо, що ;

,

тоді

, (3.57)

так як K_ij = r_ij ,

то . (3.58)

Якщо випадкові величини системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) некорельовані (r_ij = 0), то дисперсія функції у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_п) дорівнює

. (3.59)