§ 5. Функції випадкових величин. Числові характеристики. Кореляційна матриця системи функцій випадкових

величин

В практиці геодезичних вимірювань виникають задачі оцінки точності результатів, що є функціями однієї чи декількох виміряних величин. Отримані функції теж будуть випадковими величинами. Як правило, відомо закон розподілу системи випадкових аргументів і відома функціональна залежність. Тобто, є система випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) і закон їх розподілу. Розглянемо функцію Y від випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_п

Y = f (Х₁, Х₂, ..., Х_п). (3.41)

Практично вирішують задачу визначення закону розподілу випадкової величини Y, виходячи з функції (3.39) і закону сумісного розподілу її аргументів Х₁, Х₂, ..., Х_п.

Покажемо вирішення цієї задачі для двох випадкових величин. Маємо функцію

Y = f (X₁, X₂ ).

Очевидно, що щільність розподілу системи випадкових величин (Х₁, Х₂) буде – (x₁, x₂).

Штучно введемо нову величину Y₁ = X₁ і розглянемо систему двох рівнянь

. (3.42)

Очевидно, цю систему можна однозначно визначити відносно х₁ та х₂, тоді

. (3.43)

Виходячи з того, що система (3.43) диференціюється в теорії ймовірностей, доводиться, що щільність розподілу випадкової величини у = f(x₁, x₂) в нескінченних межах буде

j(у) = j[x₁j y,x₁)] . (3.44)

За аналогією находять щільність розподілу для функції трьох і більше випадкових величин. Наприклад, якщо Y = f(x₁, x₂, x₃), вводять нові перемінні

Y₁ = X₁,

Y₂ = X_2.

Якщо при цьому між системами (Х₁, Х₂, Х₃) і (Y, Y₁, Y₂) виявляється однозначне співвідношення, то щільність розподілу випадкової величини Y буде

j(у) = j[x₁,х₂, j(y,x₁,х₂)] , (3.45)

де j(y, x₁, x₂) – зворотня функція.

На основі формули (3.44) визначають щільність розподілу для випадкових величин: у = (x₁ + x₂ ); у = (x₁ - x₂ ); у = x₁  x₂ та [8;15].

Наприклад. Закон розподілу величини відхилення випадкової точки (Х,Y) від початку координат при умові, що система випадкових величин (Х,Y) має нормальний розподіл з параметрами М_х = М_y = 0 і _х = _у =  називають розподілом Релея.

Зазначимо, що щільність розподілу такої системи (Х, Y) має вигляд

j(х,у) = .

Відхилення точки (х,у) від початку координат буде визначатися випадковим вектором R, що є функцією випадкових величин Х та Y, тобто

.

Випадкова величини R є полярним радіусом, тоді

x = r cos ;

y = r sin .

Щільність розподілу j(r,) системи випадкових величин (R, ) визначають через щільність розподілу j(х, у) системи (Х, Y).

Внаслідок математичних перетворень щільність розподілу випадкової величини R визначається розподілом Релея за формулою

j(r) = . (3.46)

Графік розподілу Релея показано на рис. 3.4

Рис. 3.4

При дослідженнях не завжди виникає необхідність у визначенні закону розподілу функції випадкових величин. Тоді обчислюють числові характеристики функції випадкових величин: математичне сподівання та дисперсію.