Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей і обчислюються за формулами (2.26 – 2.28).

3. Кореляційною матрицею K_x

Вона є узагальненим поняттям дисперсії D_x для випадкового вектора Х. Визначається за формулою

K_x = М [(X – M_x) (X – M_x)^T]. (3.33)

Відомо, що математичне сподівання випадкової матриці є матриця, складена із математичних сподівань її елементів. У формулі (3.33) приймемо п = 3, отримаємо

(x₁ - )

K_x = М (x₂ - ) (x₁ - ) (x₂ - ) (x₃ - ) =

(x₃ - )

= …

… .

Згідно з формулами (2.26) і (3.21) маємо:

K_x = = ,

де – дисперсії Х_і, а K_ij = – кореляційні моменти випадкових величин Х_і і Х_j.

При п-випадкових величинах системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) кореляційна матриця має вигляд

. (3.34)

Аналіз формули (3.34) показує, що діагональні елементи кореляційної матриці є дисперсіями випадкових величин Х_і, а недіагональні елементи K_ij є кореляційними моментами між випадковими величинами Х_і і Х_j. Крім того, кореляційна матриця K_x симетрична відносно головної діагоналі, тобто

.

Якщо випадкові величини системи (х1, х2, ..., Хп) незалежні між собою, то матриця Kx буде діагональною

= . (3.35)

Якщо всі дисперсії матриці (3.35) рівні між собою, = = то

K_x = ²E, (3.36)

де Е – одинична матриця.

Через кореляційні моменти K_ij можна обчислити коефіцієнти кореляції, що визначають міру зв’язку між парами Х_і і Х_j випадкових величин за формулою

. (3.37)

На заміну кореляційної матриці можна скласти нормовану кореляційну матрицю.

Нормованою кореляційною матрицею називають матрицю, елементами якої є коефіцієнти кореляції r_ij, тобто

. (3.38)

Якщо випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_п мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то система випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) буде п-вимірним нормальним розподілом зі щільністю ймовірності

j(х₁,х₂, ..., х_п) =

= . (3.39)

Щільність нормального розподілу для системи двох залежних величин Х і Y буде

j(х,у) =

= .

(3.40)

Як видно із формули (3.40), для двох залежних випадкових величин закон розподілу визначається п’ятьма параметрами: М_x, М_y, _х, _у і r_xy.

Формула щільності нормального розподілу для системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) залежних випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_п має досить складний вигляд.