Коефіцієнт кореляції дорівнює

= 0,25.

г) За формулою (3.27) визначимо коефіцієнт регресії

= 0,27.

Тоді рівняння регресії визначиться за формулою (3.25)

у = 2,45 + 0,27 (х – 2,5),

або у = 0,27х + 1,77.

Приклад 2. Випадкові величини Х і Y незалежні. Чому дорівнює кореляційний момент K_ху = ?

Розв’язання. Розкриємо дужки в формулі (3.21) і отримаємо

K_ху = М [(X – M_x)(Y – M_y)] = M [ X  Y – X  M_y – M_xy+ M_x M_y] =

= M_xy – M_x M_y – M_x M_y + M_x M_y = M_xy - M_x M_y.

Тоді кореляційний момент можна записати у вигляді

K_ху = М_xy – М_x М_y. (3.28)

Згідно з властивостями математичного сподівання добутку двох незалежних випадкових величин (2.21) маємо М (х  у) = М_x  М_y.

Тоді кореляційний момент у формулі (3.28) для незалежних величин Х і Y буде

К_ху = М_x М_y – М_x М_y = 0.

Приклад 3. Між випадковими величинами Х і Y системи (х,у) є кореляційний зв’язок у вигляді у = ах + b. Довести, що при цьому коефіцієнт кореляції | r| = 1.

Розв’язання. Згідно з властивостями математичного сподівання (§ 3, розд.2) визначимо математичне сподівання функції у

М_y = М [ах + b] = аМ_x + b.

За формулою (3.21) обчислимо кореляційний момент

K _xy = M [(x – M_x) (y – M_y)] = M [(x – M_x) (ax +b – аМ_x – b)] =

= aМ [(x – M_x) (x – M_x)] = aM [(x – M_x )² ] = aD_x = a .

За формулою (3.24) коефіцієнт кореляції буде дорівнювати

.

Із рівняння у = ах + b визначимо стандарт функції у, виходячи з властивостей дисперсії (§ 3, розд.2) D_y = a² D_x і _у = а_х .

Тоді

.

§ 4. Багатовимірний розподіл. Числові характеристики системи довільного числа випадкових величин

Якщо система включає більше двох величин, то її розглядають як випадкові точки або випадкові вектори в просторі відповідної кількості п-вимірів.

Повною характеристикою системи п-випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) є закон розподілу цієї системи. Його задають функцією розподілу або щільністю розподілу.

Функцію п-аргументів х₁, х₂, ..., х_п, що дорівнює ймовірності спільного виконання п-нерівностей Х_і < x_i ( ) називають функцією розподілу системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п), тобто

F (х₁, х₂, …, х_п) = P (Х₁ < x₁, Х₂ < x₂, …, Х_n < x_n). (3.29)

Граничне відношення ймовірності появи системи (Х₁, Х₂, ...,Х_п) в невеликих межах навколо точки (х₁, х₂, …, х_п) до розміру інтервалу межі при необмеженому його зменшенні називають щільністю розподілу j(х₁, х₂, ..., х_п) системи п випадкових величин

j(х₁, х₂, ..., х_п) = . (3.30)

Якщо закон розподілу системи п-випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) невідомий, то її характеризують числовими характеристиками:

1. Математичним сподіванням М_x

М_x = , (3.31)

де – обчислюються за формулами (2.15 – 2.17).

2. Дисперсією D_x

D_x = . (3.32)