Її можна розкласти на множники, тобто

(х,у) = .

Це свідчить про те, що випадкові величини Х і Y незалежні. Тоді

; .

Приклад 2. Визначити ймовірність попадання точки в прямокутник з координатами: х₁ = 1; х₂ = 3; y₁ = 2; y₂ = 4, якщо щільність розподілу системи випадкових величин (X,Y) підпорядковується нормальному закону з центром розсіювання в точці і стандартом _х = _у = 0,5.

Розв’язання. Згідно з формулою (3.10) маємо

Р(х₁ < X < x₂ , y₁ < Y < y₂ ) =   = .

За таблицею функцій Лапласа (дод.1) знаходимо (2) = 0,95; (-2) = -0,95.

Тоді Р = (0,95 + 0,95) (0,95 + 0,95) = 0,9.

§ 3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії

Найбільш повними ймовірними характеристиками системи двох випадкових величин є закон розподілу. Однак в практичній діяльності не завжди є можливість визначити його. Тому при дослідженнях систему двох випадкових величин характеризують їх числовими характеристиками: початковими та центральними моментами.

Початковим моментом порядку s, q системи (Х,Y) називається математичне сподівання від добутка Х^S на тобто

. (3.11)

Для системи дискретних випадкових величин

, (3.12)

де Рx_iy_i = Р(Х = х_і; Y = y_i )  ймовірність того, що система (х,у) прийме значення (х_і,у_і), а додавання розповсюджується по всіх можливих значеннях випадкових величин Х і Y.

Для системи неперервних випадкових величин

(х,у) dx dy, (3.13)

де (х,у)  щільність розподілу системи двох випадкових величин Х та Y.

В практичній діяльності найчастіше використовують початкові моменти першого порядку при s = 1, q = 0 і s = 0, q = 1 згідно з формулами (3.11) і (2.15):

; (3.14)

. (3.15)

Як видно із формул (3.14) і (3.15) початковими моментами першого порядку будуть математичні сподівання випадкових величин Х і Y. Вони визначають координати точки, яку називають центром розсіювання системи (Х, Y) на площині.

Центральним моментом _sq порядку s,q системи (Х, Y) називається математичне сподівання добутку центрованих величин (Х – М_x) і (Y – M_y) відповідно в s-му і q-му степенях.

_sq = М [(X – M_x)^S (Y – M_y)^q ]. (3.16)

Для системи дискретних і неперервних величин отримаємо:

_sq = ; (3.17)

_sq = (х,у) dx dy. (3.18)

Практичне значення мають центральні моменти другого порядку при s = 2 і q = 0 та s = 0 і q = 2:

₂₀ = М [(X – M_x)² (Y – M_y)⁰ ] = М [(X – M_x)²] = D_x; (3.19)

₀₂ = М [(X – M_x)⁰ (Y – M_y)² ] = М [(Y – M_y)²] = D_y. (3.20)

Як видно вони є дисперсіями випадкових величин Х та Y і характеризують розсіювання випадкової точки з координатами (х, у) в напрямку осей 0х і 0y.

При дослідженнях системи випадкових величин важливу роль має змішаний центральний момент першого порядку  ₁₁. Його називають кореляційним моментом K_ху або моментом зв’язку і визначають за формулою

₁₁ = K_ху = М [(X – M_x) (Y – M_y)]. (3.21)

Для системи дискретних та неперервних величин його визначають за формулами

; (3.22)

K_ху = (х,у) dx dy. (3.23)

В § 2 цього розділу показано, що між випадковими величинами Х і Y може виникати зв’язок. Кореляційний момент K_ху і характеризує силу або щільність зв’язку. Відомо, якщо між випадковими величинами існує ймовірний зв’язок (залежність), то зі зміною випадкової величини Х змінюється закон розподілу випадкової величини Y. В той же час закон розподілу задають кривою розподілу у = f(x). Характер кривих може бути різним, тому і відрізняють декілька типів імовірної залежності. Одним із найбільш розповсюджених типів є кореляційна залежність, за якої заміна аргументу х призводить до зміни математичного сподівання величини y (рис.3.3). В першому випадку (рис.3.3,а) ми маємо прямолінійну кореляцію, а на рис.3.3,б – криволінійну. При дослідженнях можуть виникнути й інші типи кореляційної залежності.

а б

Рис.3.3

Кореляційну залежність часто називають кореляцією. Як видно із формули (3.22) кореляційний момент має розмірність, яка залежить від розмірності випадкових величин Х і Y. Тому для оцінки сили зв’язку між випадковими величинами системи (Х, Y) використовують не коефіцієнт зв’язку K_ху, а безрозмірне відношення

, (3.24)

яке називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х і Y.

Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто

.

Якщо r > 0, то маємо позитивну кореляцію, тобто із збільшенням абсциси x, збільшується величина ординати y (рис.3.3,а) і навпаки при r < 0 .

Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то кореляційний момент і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто K_ху = 0 і r_xy = 0.

Дві корельовані випадкові величини завжди є взаємозалежними, але дві залежні величини не завжди є корельованими. Прикладом цього може бути система випадкових величин (Х, Y) рівномірно розподілена в межах кола з центром на початку координат. Розрахунки показують, що величини Х і Y залежні, а кореляційний момент K_ху = 0, а це означає, що і r_xy = 0 [15, с.125].

Випадкові величини Х і Y називають корельованими, якщо | r_xy| > 0 і при r_xy = 0 – некорельованими.

Коли коефіцієнт кореляції дорівнює +1 чи -1, то між величинами Х і Y існує прямолінійна залежність у вигляді рівняння прямої

у = ах + b.

Форма прямолінійного зв’язку між випадковими величинами Х і Y визначається у вигляді рівняння регресії Y на Х:

у = М_y + (х – М_x), (3.25)

і Х на Y

x = М_x + ( y – М_y). (3.26)

Коефіцієнти регресії і визначають за формулами

; , (3.27)

де значення r, _x, _y обчислюють за формулами (2.28), (3.24).

Приклад 1. Для системи випадкових величин (х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3; х₄ = 4; у₁ = 0,8; у₂ = 2,1; у₃ = 2,7; у₄ = 4,2) при ймовірностях їх появи = 0,25; = 0,25 знайти:

а) початкові моменти першого порядку при s = 1, q = 0 i s = 0, q= 1;

б) центральні моменти при s = 2, q = 0 i s = 0, q = 2;

в) обчислити кореляційний момент K_ху та коефіцієнт кореляції r_xy;

г) знайти рівняння регресії Y та Х.

Розв’язання. а) Початковими моментами величин Х та Y будуть їх математичні сподівання. За формулами (3.14), (3.15) та (2.15) обчислюємо:

α₁₀ = М_x = = 1  0,25 + 2  0,25 + 3  0,25 + 4  0,25 = 2,5;

α₀₁ = М_y = = 0,8  0,25 + 2,1  0,25 + 2,7  0,25 + 4,2  0,25 = 2,45.

б) Центральні моменти при s = 2, q = 0 i s = 0, q = 2 обчислюють за формулами (3.19), (3.20) та (2.27):

₂₀ = D_x = = [(-1,5)² + (-0,5)² + (0,5)² + (1,5)²]  0,25 = 1,25;

₀₂ = D_y = = [(-1,65)² + (-0,35)² + (0,25)² + (1,75)²] 0,25 = 1,46.

в) Для визначення кореляційного моменту за формулою (3.22) обчислимо ймовірності прийняття системою (х, у) значень (х_і, у_і). Так як випадкові величини Х та Y з'являються одночасно і мають однакові значення ймовірностей = 0,25 і = 0,25, то за формулою добутку ймовірностей маємо

=  .

Тоді

₁₁ = K_ху= [(-1,5)(-1,65) + (-0,5)(-0,35) +

+ 0,5  0,25 + 1,5  1,75]  0,062 = 0,33.

В пункті б) знайдено D_x і D_y, тоді стандарти будуть дорівнювати:

= 1,1; = 1,2.