Закон її сумісного розподілу визначають за формулою
(х,у) = 1(х) ,
або (х,у) = 2(y) .
Поняття залежності та незалежності випадкових величин має велике значення в теорії ймовірностей та при математичній обробці результатів вимірів.
Випадкова величина Х буде незалежною від випадкової величини Y, якщо закон розподілу величини Х не залежить від прийнятого значення величини Y, тобто
= 1(х),
і навпаки, для випадкової величини Y маємо
= 2(у).
Якщо вони взаємно залежні між собою, то
1(х); 2(у).
Випадкові величини Х i Y незалежні, якщо щільність сумісного розподілу (х,у) можна визначити у вигляді добутку двох множників, кожен із яких утримує тільки величини х та у, тобто
(х,у)
=
.
Додамо,
що при розкладанні, функції
з
точністю до постійної множників
збігаються з щільностями розподілу
1(x)
і 2(у).
Між випадковими величинами виникає функціональна або стохастична (ймовірна) залежність.
Функціональною залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, коли кожному значенню Х відповідає точне значення Y.
Наприклад, у = х2, S = ab і т.д.
Стохастичною (ймовірною) залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, при якій кожному значенню х можна вказати розподіл величини у, яке змінюється при зміні х.
Така залежність в практичній діяльності зустрічається досить часто. Наприклад, зріст та вага людини, висота і товщина дерева в лісі, величина деформації інженерних споруд, час їх експлуатації і т.д.
Тобто у випадку ймовірної залежності на кожне точне значення аргументу х можна вказати значення випадкової величини у з певною мірою ймовірності (Ру).
Система двох випадкових величин може підкорятися різним законам розподілу. Проте в практиці геодезичних вимірювань найбільше розповсюдження має нормальний закон розподілу.
Якщо випадкові величини Х і Y мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то щільності розподілу кожної із них будуть:
1(х)
=
;
(3.6)
2
(y
) =
.
Згідно з формулою (2.69) щільність розподілу системи (Х, Y), якщо випадкові величини Х та Y незалежні, отримаємо у вигляді
(х,у)
=
.
(3.7)
Якщо центр системи (х,у) знаходиться на початку системи координат х0у, тобто Мх = Му = 0, то
(х,у)
=
.
(3.8)
Поверхня щільності нормального розподілу системи (х,у) має опуклий вигляд (горб), показаний на рис.3.2.
Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник із сторонами паралельними осям координат, в межі з координатами х1,х2 і у1,y2 (рис.3.1) визначається за формулою
Р(х1
<
X
< x2
, y1
< Y
< y2
)
=
(x,y)
dx
dy.
(3.9)
При нормальному розподілі системи двох випадкових величин отримаємо
Р(х1
< X
< x2
, y1
< Y
< y2)
=
.
(3.10)
Приклад 1. Щільність розподілу системи двох випадкових величин (Х,Y) визначається за формулою
(х,у)
=
.
Знайти: а) значення а; б) функцію розподілу; в) визначити залежність випадкових величин X і Y.
Розв’язання. а) Згідно з 2-ою властивістю щільності розподілу маємо
=
=
.
Тоді
;
б) за формулою (2.68) отримаємо
;
в) при відомому значенні функція щільності дорівнює
(х,у)
=
.