§ 7. Розподіл Стьюдента

При математичній обробці геодезичних вимірів часто буває, що стандарт _х заздалегідь невідомий. Тоді його визначають за результатами вимірів.

Припустимо, що випадкова величина Х визначена за результатами дослідів із випадкових величин х₁, х₂, ... х_k. Величини Х та x_i (i = ) – незалежні нормовані величини з нульовими математичними сподіваннями і дисперсією рівною одиниці. Обчислимо безрозмірну нормовану величину

, (2.63)

де k - число ступенів вільності.

Її називають числом Стьюдента. Розподіл величини t не залежить від стандарту _х і підкоряється розподілу Стьюдента з (п - 1) ступенями вільності.

Щільність імовірності розподілу Стьюдента визначають формулою

, (2.64)

де .

Крива функції щільності і розподілу j(х) симетрична відносно осі ординат, так як математичне сподівання М(t) = 0. Її називають законом Стьюдента з k ступенями вільності. При достатньо великих значеннях k, крива розподілу Стьюдента досить близька до кривої нормального розподілу випадкових величин. Причому

,

.

Тоді формула (2.64) набуває вигляду

j(х) = ,

тобто співпадає з нормованою нормальною щільністю розподілу (рис.2.13,б). На рис.2.16 показано співвідношення кривої розподілу Стьюдента з нормальною кривою.

Рис.2.16

Розподіл Стьюдента використовується для оцінки точності результатів геодезичних вимірів, коли їх число не досить велике (обмежене).

Запитання для самоперевірки

1. Що називається випадковою величиною?

2. Дайте визначення та покажіть геометричний зміст неперервних та дискретних випадкових величин.

3. Що називають законом розподілу випадкових величин?

4. Приведіть приклади закону розподілу випадкових величин.

5. Дайте визначення функції розподілу та назвіть її властивості.

6. Приведіть формулу та властивості щільності розподілу неперервної випадкової величини.

7. Запишіть формулу обчислення ймовірності попадання випадкової величини в інтервал.

8. Яка різниця між графіками функцій розподілу та щільності розподілу неперервної та дискретної випадкової величини?

9. Дайте визначення математичного сподівання, дисперсії, початкового і центрального моментів.

10. Що таке мода та медіана?

11. Що називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини?

12. Приведіть формули числових характеристик розподілу для неперервних та дискретних випадкових величин.

13. Порівняйте властивості математичного сподівання та дисперсії.

14. Що таке асиметрія та ексцес? Як вони позначаються на графіку нормального розподілу?

15. Який розподіл випадкової величини називають нормальним розподілом?

16. Які властивості кривої нормального розподілу?

17. Що називають функцією Лапласа і які її властивості?

18. Який розподіл випадкової величини називають рівномірним розподілом?

19. Чому дорівнюють: математичне очікування, дисперсія та стандарт рівномірного розподілу?

20. Коли використовують ²–розподіл?

21. При яких умовах використовується t–розподіл Стьюдента?

67