§ 5. Рівномірний розподіл
Якщо на відрізку (а, b) щільність розподілу випадкової величини X постійна, то вона підкоряється рівномірному розподілу, тобто
j(х)
=
(2.56)
де С = const.
Г
рафік
щільності j(х)
рівномірного розподілу показано на
рис. 2.14,а.
а б
Рис.2.14
Площа під кривою дорівнює одиниці (Р
= 1), тоді щільність рівномірного
розподілу на всьому інтервалі дорівнює
висоті прямокутника, або С
=
.
Інтегральна функція рівномірного розподілу F(x) буде
F(x)
=
dх
=
dx
=
.
Так як x < a F(x) = 0, a при х > b F(x) = 1, то
F(x)
=
(2.57)
Графік функції F(x) показано на рис. 2.14,б. Таким чином, якщо випадкова величина підкоряється закону рівномірної щільності на деякому інтервалі (а,b), то це означає, що поява будь-яких значень випадкової величини в межах цього інтервалу однаково ймовірні мають одну і ту ж щільність імовірності.
В геодезії помилки заокруглення відліків по шкалах приладів до цілих поділок розглядаються як випадкові величини, що мають однакову щільність імовірності будь-якого значення між двома сусідніми цілими поділками.
Математичне сподівання та дисперсія рівномірного розподілу дорівнюють
Мx
=
dx
=
;
(2.58)
Dx
=
dx
=
.
(2.59)
Позначимо точність відліку по шкалі приладу через α, причому
.
Тоді стандарт рівномірного розподілу
буде дорівнювати
.
(2.60)
Відомо, що інтервал шкали оптичного
мікроскопа теодоліта Т30 дорівнює одній
хвилині. Тоді
;
,
а стандарт відліку (формула 2.60) буде
дорівнювати
.
Рівномірний розподіл в геодезії використовується при вирішенні задач оцінки точності результатів вимірів пов’язаних із їх заокругленням.
§ 6. 2–розподіл
При обробці геодезичних вимірів використовують ряди квадратів нормально розподілених випадкових величин х.
Припустимо, що з ряду нормально розподілених випадкових величин Х1, Х2, ... Хп утворимо ряд нормованих незалежних випадкових величин Z1, Z2, …, Zk, де k – число ступенів вільності. Вони також будуть нормально розподіленими з математичним очікуванням Мz = 0.
Якщо
y
= 2
=
,
(2.61)
то в математичній статистиці доведено, що щільність розподілу випадкової величини визначається за формулою
j(y)
=
,
(2.62)
де Г(α) гама-функція, яка визначається за допомогою інтеграла Л.Ейлера.
Наприклад. Г(α
+ 1)
=
α
Г(α);
Г(α)
Г(1 -α)
=
, причому
Г(α
+1) =
α!;
Г(1)
=
1;
Г(0,5)
=
;
Г(α+
)
=
=
.
Графік щільності ймовірності 2–розподілу показано на рис.2.15.
Математичне сподівання, дисперсія та стандарт випадкової величини y дорівнюють
Мy
= k;
Dy
= 2k;
y
=
.
(2.63)
– квадрат (2) розподіл використовують для оцінки точності дисперсії та стандарта при математичній обробці результатів вимірів.
2–розподіл називають розподілом Пірсона.
Рис.2.15