§ 4. Нормальний закон розподілу випадкових величин

Нормальний закон розподілу випадкових величин має важливе значення в теорії ймовірностей і найчастіше зустрічається на практиці. Головна його властивість полягає в тому, що серед інших законів він є граничним законом, до якого наближуються інші закони розподілу в досить частих подібних типових умовах. Доведено, що більшість випадкових величин, якому б закону розподілу не підкорялися, в сумі великого числа додатних нівелюються, а сума їх підкоряється закону досить близькому до нормального закону. Це твердження відноситься і до результатів геодезичних вимірів.

Неперервна випадкова величина має нормальний розподіл, якщо щільність імовірності має рівняння

, (2.43)

де е = 2,718...,  = 3,141..., М_x – математичне сподівання,  – середнє квадратичне відхилення (стандарт). М_x та  називають параметрами нормального закону розподілу. Якщо відомі значення М_x і , то щільність імовірності повністю визначена.

Крива нормального закону розподілу має симетричний горбкуватий вигляд (рис.2.13,а)

а б

Рис.2.13

Графік щільності нормального розподілу (рис.2.13,а) називають нормальною кривою або кривою Гаусса.

Інтегральна функція нормального закону розподілу випадкових величин буде

. (2.44)

Відмітимо деякі властивості кривої нормального розподілу:

1. Крива розподілу симетрична відносно ординати, яка проходить через точку М_x.

2. Крива має один максимум при х = М_x і дорівнює .

3. При гілки кривої асимптотично наближаються до осі 0х.

4. Якщо  = const, то зміна значення математичного сподівання М_x призводить до зміщення кривої розподілу вздовж осі 0х.

5. При М_x = const і зміні величини середнього квадратичного відхилення  крива розподілу стає більш гостроверхою або плосковерхою.

При вирішенні практичних задач, нормальний розподіл відіграє важливу роль. Якщо випадкова величина Х підкоряється нормальному закону розподілу, то ймовірність її попадання на ділянку (α,β) дорівнює

Р ( α < x < β) = . (2.45)

Згідно з четвертою та п’ятою властивостями для різних випадкових величин Х буде своя крива розподілу. Щоб уникнути цього визначають нормований нормальний закон розподілу. Вводять нормовану випадкову величину t

, (2.46)

для якої математичне сподівання М_t = 0, а середнє квадратичне відхилення σ_t = 1.

Тоді формули (2.43) та (2.44) для нормованого нормального закону розподілу будуть мати вигляд

j(t) = ; (2.47)

F(t) = . (2.48)

Графік функції нормованої нормальної щільності розподілу j(t) показано на рис.2.13,б. Він буде стандартним для будь-якої нормованої випадкової величини.

Інтеграл (2.45) не можна виразити через елементарні функції. Тому його обчислюють через спеціальну функцію, що є визначеним інтегралом

від величини (інтеграл імовірностей), для якого складені таблиці (дод.1). Тобто

. (2.49)

Іноді приводять таблицю функції 2j(t) для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини X в симетричні інтервали від -t до t. Значення інтегральної функції (формула 2.48) приведено в дод. 2.

Функцію j(t) називають нормованою функцією Лапласа або інтегралом імовірностей. Тоді формула (2.45) буде

Р ( α < x < β) = . (2.50)

Ця формула після перетворення набуде вигляду

Р ( α < x < β) = j j . (2.51)

При цьому функція Лапласа має властивості: 1) j(0) = 0; 2) j(-) = -0,5; 3) j(+) = +0,5; 4) j(-t) = j(t). Якщо α = -β, то

Р(-β  x  β ) = 2j(β).

При t₂ = |t₁| = t

Р (-t < x < t) = 2j (t). (2.52)

Інтегральну функцію F(t) можна визначити через функцію Лапласа співвідношенням

F(t) = 0,5 + j(t). (2.53)

Це означає, що функція F(t) – це площа під кривою j(t), відмежована справа абсцисою t.

Підставимо формулу (2.53) у вираз Р( α < x < β) = Р(t₁ < t < t₂) = = F (t₂) – F(t), отримаємо

Р(α < x < β) = j (t₂) – j (t₁). (2.54)

Якщо відсутні таблиці значень функції (t) (дод.1), то її обчислюють за формулою

j(t) = 0,798 . (2.55)

Приклад 1. Помилки вимірів ліній світловіддалеміром підкоряються нормальному закону розподілу. Математичне сподівання результатів багаторазових вимірів лінії полігонометрії дорівнює М_x = 245,037 м. Середнє квадратичне відхилення дорівнює  = 10 мм. Знайти ймовірність того, що результати виміру лінії будуть в інтервалі від α= 245,018 м до β = 245,058 м.

Розв’язання. За формулою (2.46) обчислимо нормовані величини

t₁ = = -2;

t₂ = = +2.

Так як |t₁| = t₂ = 2, то за таблицею значень функції j(t) = 0,4772 ( дод. 1) і за формулою (2.52) знайдемо

Р (-2 < t < 2) = 2j(t) = 2  0,4772 = 0,954.

Приклад 2. Згідно з вихідними даними прикладу 1, знайти симетричні граничні значення α та β результатів вимірів з імовірністю Р = 0,90 відносно математичного сподівання.

Розв’язання. За формулою (2.52) при α =  β маємо

Р(α < x < β) = 2j(β) = 2j(t) = 0,90.

За таблицями інтегральної функції (дод.2) знаходимо величину t при Р = 0,90. Вона дорівнює 1,3. При симетричності граничних значень  t = 1,3. Тоді за формулою (2.46) обчислюємо -t = , або α = М_x - t = 245,038 м – 1,3  10 мм = 245,025 м;

+ t = , або  = М_x - t = 245,038 + 1,3  10 мм = 245,051 м.

У порівнянні зі значеннями інтервалів α і  в прикладі 1 бачимо, що зменшення ймовірності Р призводить до звуження значень інтервалу результатів вимірів лінії.