2. Мода і медіана випадкової величини

Модою Мo дискретної випадкової величини називають таке її значення, що має найбільшу ймовірність.

Практично, якщо маємо дискретний ряд розподілу, то знаходимо таке k-е значення випадкової величини x, що має найбільшу величину ймовірності Р_п(k).

Для неперервної випадкової величини модою буде таке її значення, що має максимум щільності розподілу, тобто j(Мo) = max. На рис.2.10,а і 2.10,б показано моду для дискретної та неперервної випадкової величини.

Якщо многокутник розподілу або крива розподілу має два або більше максимумів, то такий розподіл називають двохмодальним чи багатомодальним.

В прикладі 1 § 3, розд.2 модою буде Х₃, так як р₃ = 0,35 = max.

а б

Рис.2.10

Медіаною Мe випадкової величини Х називають таке її значення, відносно якого ймовірність появи як більшого, так і меншого значення випадкової величини Х має приблизно однакову ймовірність, тобто

Р(Х < Me) = P (X > Me). (2.24)

Геометрична медіана – це абсциса точки, де площа кривої розподілу розділяється наполовину. Тоді функція розподілу в точці Мe дорівнює

F(Me) = P (X < Me) = 0,5.

Якщо розподіл випадкової величини симетричний, одномодальний то математичне сподівання, мода і медіана збігаються, тобто

М_x = Мo = Мe.

3. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Як видно із рис.2.9 математичне сподівання двох перших стрільців практично однакове (рис.2.9,а і 2.9,б). Проте добре видно, що перший із них стріляє значно краще другого. Більше того, хоча третій із них (рис.2.9,в) і не влучив в центр мішені, проте стріляв досить кучно. Це підтверджує той факт, що для характеристики випадкової величини не досить математичного сподівання. Треба мати таку характеристику, яка відображає розсіювання випадкової величини. Такими основними характеристиками є дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Очевидно, що величину розсіювання для кожної випадкової величини від математичного сподівання можна обчислити, тобто = Х – М_x.

Величину називають центрованою випадковою величиною. Так як імовірність появи центрованих випадкових величин справа і зліва від М_x однакова, то її математичне сподівання дорівнює нулю і не може характеризувати розсіювання її значень. Тому якістю міри розсіювання Х беруть математичне сподівання від квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання і називають його дисперсією – D_x.

Дисперсією випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто

D_x = M [(X – M_x)²]. (2.25)

Для дискретної випадкової величини дисперсія матиме вигляд суми

, (2.26)

для неперервної це буде інтеграл

. (2.27)

Дисперсія має розмірність квадрата розмірності випадкової величини, що не зовсім зручно. Тому для характеристики міри розсіювання випадкової величини приймають додатковий квадратичний корінь із дисперсії. Цю характеристику називають середнім квадратичним відхиленням або стандартом і позначають символом _х

. (2.28)

Стандарт має таку саму розмірність, як і випадкова величина Х.

Дисперсія має такі властивості:

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю

D(C) = 0. (2.29)

2. Дисперсія добутку постійної величини на випадкову величину дорівнює добутку квадрата постійної величини на дисперсію випадкової величини

D(CX) = C²D_x . (2.30)

Якщо маємо декілька таких добутків, то

. (2.31)

3. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню її квадрата мінус квадрат її математичного сподівання

D(X) = M[X²] - . (2.32)

Приклад 3. Визначити дисперсію виміру кута п’ятьма прийомами. Ряд розподілу приведений в прикладі 1 § 3; розд.2

Розв’язання. В прикладі 1 § 3; розд.2 обчислене математичне сподівання дорівнює М_Х = 3. Тоді за формулою (2.27) дисперсія виміру кута буде

= (-3)² 0,01 + (-2)² 0,08 + (-1)² 0,23 +

+ 0²  0,35 + 1²  0,26 + 2² 0,07 = 1,18.

Приклад 4. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу

.

Визначити дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

Розв’язання. За формулою (2.17) визначимо математичне сподівання

М_x = .

Якщо М_x = 0, то за формулою (2.27) знайдемо

D_x = .

Тоді середнє квадратичне відхилення, або стандарт буде

.

4). Моменти випадкової величини

Узагальненням основних числових характеристик випадкових величин є моменти випадкової величини. Визначають початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання від величини Х ^k, тобто

. (2.33)

Для дискретної випадкової величини початковий момент буде

, (2.34)

для неперервної

j(х) dx. (2.35)

При порівняні формул (2.15) і (2.17) з формулами (2.34) і (2.35) видно, що початковий момент першого порядку є математичне сподівання випадкової величини, тобто α₁ = М_x.

Центральним моментом k–го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання від величини (Х – М_x)^k .

Тоді

μ_k = M [(X – M_x)^k ], (2.36)

для дискретної випадкової величини:

μ_k = , (2.37)

для неперервної величини:

μ_k = j(х) dx. (2.38)

Очевидно, що центральний момент першого порядку завжди буде дорівнювати нулю. При порівнюванні формул (2.26), (2.27), (2.28) з формулами (2.36), (2.37) і (2.38) видно, що центральним моментом другого порядку є дисперсія випадкової величини Х.

5) Асиметрія та ексцес.

Третій центральний момент μ₃ служить характеристикою асиметрії (скошеність) розподілу. Якщо μ_k = 0, то ми маємо симетричний розподіл випадкової величини відносно математичного сподівання.

Асиметрія – це відношення третього центрального моменту до середнього квадратичного відхилення в третьому степені

. (2.39)

Величина S_k визначає коефіцієнт асиметрії і може бути як з плюсом (рис.2.11,а), так і з мінусом (рис.2.11,б)

а б

Рис.2.11

Четвертий центральний момент μ₄ служить для обчислення ексцесу - характеристики гостроверхого або плосковерхого розподілу.

Ексцесом випадкової величини Х називають величину, що описується залежністю

. (2.40)

Якщо E_k = 0, то крива розподілу буде еталоном, з яким зрівнюють інші закони розподілу. Так при E_k > 0 крива буде більш гостроверхою, а при E_k < 0 – плосковерхою (рис.2.12).

Рис.2.12

Математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, моменти, асиметрія і ексцес використовують для характеристики випадкових величин при вирішенні великої кількості практичних задач, коли закон розподілу або не потрібний, або його не можна визначити. Треба пам’ятати, що кожна із числових характеристик відображає ту чи іншу властивість закону розподілу.

Центральні моменти можна виразити через початкові моменти

μ₁ = 0;

μ₂ = α₂ - = D_x;

₃ = α₃ - 3α₁α₂ + 2 ; . (2.41)

₄ = α₄ - 4α₁α₃ + 6α₁α₂ - 3 .

…………………………….

На практиці іноді використовують так звані абсолютні початкові _S та центральні _S моменти, що визначаються залежностями:

. (2.42)

Неважко помітити, що абсолютні моменти парних порядків збігаються зі звичайними моментами. Абсолютний центральний момент першого порядку є середнє арифметичне відхилення.