§ 3. Числові характеристики випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з точки зору ймовірності її появи в будь-якому інтервалі числової осі 0х. Разом з тим при вирішенні великої кількості практичних задач достатньо знати тільки деякі характерні риси закону розподілу. В теорії ймовірностей їх називають числовими характеристиками випадкової величини Х. Вони в досить стислому вигляді характеризують той чи інший закон розподілу.

Властивості випадкової величини Х характеризують параметри: математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та стандарт. Більш узагальненими основними характеристиками випадкових величин є моменти випадкової величини.

1) Математичне сподівання

Розглянемо випадкову величину Х – влучення в ціль при стрільбі по мішені (рис.2.9).

а б

в

Рис.2.9

Цілком зрозуміло, що при численних пострілах попадання х_і кожен раз буде випадковим і має ймовірність р_і. Вони групуються біля центра (рис.2.9). Числове значення положення центра групування і є математичне сподівання, яке позначають через М_х. Іноді його називають середнім значенням випадкової величини.

Якщо дискретна випадкова величина Х володіє можливими значеннями х₁, х₂, ... , х_п з імовірностями р₁, р₂, ..., р_n, то математичне сподівання випадкової величини Х визначається за формулою

M[Х] = M_х = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n = , (2.15)

де = 1, так як поява однієї із можливих подій є достовірна подія.

Якщо випадкова величина Х має нескінченне число можливих значень, то

М_х = . (2.16)

Математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума добутку всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку [a, в], називають визначений інтеграл

М_х = (2.17)

де (х) – щільність імовірності розподілу випадкової величини.

Математичне сподівання має ту ж розмірність, що і випадкова величина, та має властивості:

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює величині постійної, тобто

М(С) = С. (2.18)

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання

М(СХ) = СМ_x. (2.19)

3. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

М (х + y +...+ k ) = M_х + M_y + … + M_k. (2.20)

4. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

М(х  у  ... k) = M_x  M_y …M_k. (2.21)

Математичне сподівання може бути як додатнім, так і від’ємним.

Відомо, що для повної групи подій р_і = 1. Тоді формулу (2.15) можна записати у вигляді

М_x = . (2.22)

Таким чином, згідно з формулою (2.22) виявляється механічна інтерпретація математичного сподівання. Воно буде абсцисою центру тяжіння системи матеріальних точок.

Якщо ймовірності появи випадкових величин х_і однакові, тобто р₁ = р₂ = ... = р_N , то , а формула (2.15) матиме вигляд

, (2.23)

де – середнє арифметичне значення випадкової величини.

Це означає, що математичне сподівання приблизно дорівнює середньому арифметичному значенню випадкової величини. Воно буде тим точніше, чим більше буде проведено дослідів. Графічно положення математичного сподівання показано на рис.2.9.

Приклад 1. Визначити математичне сподівання числа вимірів кута при п’яти прийомах, якщо випадкова величина x (число вимірів) задана рядом розподілу:

хі	0	1	2	3	4	5
рі	0,01	0,08	0,23	0,35	0,26	0,07

Розв’язання. За формулою (2.15) обчислюємо:

М_x = 0  0,01 + 1  0,08 + 2  0,23 + 3  0,35 +

+ 4  0,26 + 5  0,07 = 3 (прийоми).

Приклад 2. При польовому контролі топографічної зйомки інструментально перевіряють планове та висотне положення пікетів. Ймовірність появи бракованого пікета дорівнює р. Контроль закінчують після виявлення першого бракованого пікета. Знайти ряд розподілу та математичне сподівання числа випробувань.

Розв’язання. Якщо Х – випадкове число випробувань, то ймовірність появи і-ої події визначається за формулою (1.36). За умовами задачі п = і, k = 1, а

.

Тоді ряд розподілу випадкової величини x при q = 1 – p запишеться таблично

Хі	1	2	3	…	і	…
Рі	p	pq	q2p	…	qi-1p	…

Математичне сподівання згідно з формулою (2.16) визначиться сумою ряду

М_x = 1  р + 2  qp + 3 q²p + … + i  q^i-1p + … =

= p( 1 + 2q + 3q² + … + iq^i-1 + …).

В дужках отримано результат диференціювання геометричної прогресії

q + q² + q³ + … + qⁱ + … = .

Отже 1 + 2q + 3q² + … +i q^i-1 + … = .

Тоді .