Перейдемо в рівності (2.10) до граничного значення при х 0

= j(х).

(2.11)

Функцією щільності розподілу випадкової величини в точці х є граничне відношення ймовірності попадання її на елементарну ділянку від х до х + х до довжини цієї ділянки х, коли х наближається до нуля.

Її позначають f(x) або (х). Зміст функції щільності розподілу (х) полягає в тому, що вона вказує, як часто з’являється випадкова величина Х навколо точки х при повторенні дослідів.

Якщо комплекс умов при проведенні дослідів помітно не змінюється, то графік функції щільності розподілу для неперервної випадкової величини має вигляд, зображений рис.2.7,а. Його називають кривою розподілу.

а б

Рис.2.7

Для дискретних випадкових величин маємо гістограму розподілу (рис.2.7,б).

Функція щільності розподілу має властивості:

Щільність розподілу невід’ємна, тобто

(х)  0. (2.11)

2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від функції щільності в інтервалі від -  до х

. (2.12)

3. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини Х на відрізку (α, ) дорівнює інтегралу від функції щільності розподілу, взятому за кінцевими значеннями цього відрізка

Р(α<x<β) = (x) dx. (2.13)

Геометричний зміст цього результату полягає в тому, що ймовірність появи випадкової величини в інтервалі від α до β дорівнює площі криволінійної трапеції, заштрихованої на рис.2.7.

4. Інтеграл в нескінченних межах від -  до +  дорівнює одиниці

(х) dx = 1. (2.14)

Ймовірність попадання випадкової величини Х на елементарний інтервал dx з точністю до нескінченно малих вищого порядку чим х дорівнює (х) dx (так як F (x)  dF(x) = (х)dx). Геометричний зміст цього виявляється в тому, що це є площа елементарного прямокутника з висотою (х) і основою dx. Величина (х)dx називається елементом імовірності.

Приклад 3. Випадкова величина Х підкоряється закону розподілу зі щільністю

Потрібно: 1) Знайти коефіцієнт а. 2) Побудувати графік щільності розподілу. 3) Обчислити ймовірність попадання випадкової величини на інтервал від 0 до .