Аналогічно послідовним додаванням отримаємо:

4. При 2 < х  3 F(x) = 0,144. 5. При 3< х  4 F(x) = 0,363.

6. При 4 < х  5 F(x) = 0,637. 7. При 5 < х  6 F(x) = 0,856.

8. При 6 < х  7 F(x) = 0,965. 9. При 7 < х  8 F(x) = 0,996.

10. При х > 8 F(x) = 1,0.

Г рафік функції розподілу за обчисленими значеннями побудовано на рис.2.3.

Рис.2.3

Оскільки функція розподілу дискретної випадкової величини виглядає як сходинкова ламана лінія, тому її називають сходинковим графіком.

Якщо випадкова величина неперервна, то вона має ймовірність в кожній точці осі x. Згідно з формулою (2.3) функція розподілу буде зростати поступово, тому що можливі значення випадкової величини неперервно заповнюють будь-який інтервал на осі x. Тоді графік виглядатиме як монотонно зростаюча функція розподілу F(x) на інтервалі від а до b (рис.2.4).

Рис.2.4

Функція розподілу має властивості:

1. Функція розподілу F(x) є зростаючою і міститься між нулем та одиницею

0  F(x)  1. (2.4)

Це випливає з того, що функція F(x) визначається як імовірність випадкової події Х < x.

2. Ймовірність виникнення випадкової величини в інтервалі від α до β дорівнює різниці значень функції на кінцях інтервалу

Р(α  х  β ) = F (β) - F (α). (2.5)

Визначимо подію А (рис.2.5) того, що випадкова величина х < α та подію В для випадку х < β.

Рис.2.5

Подія С відображає те, що α  x  β. В цьому випадку подія В буде складатися із суми двох несумісних подій А і С, тобто

В = А + С.

Згідно з теоремою додавання ймовірностей маємо

Р(В) = Р(А) + Р(С).

Разом з тим Р(А) = F (х < α ) = F(α ); P(B) = F(х < β) = F(β) i P(C) = P (α  x  β).

Тому

F(β) = F(α) + P (α  x  β), (2.6)

а P (α  x  β) = F(β) - F(α).

Припустимо, що β  α. Тоді в формулі (2.5) будемо мати

Р(х = α) = . (2.7)

Якщо функція в точці α неперервна, то граничне значення дорівнює нулю. При розриві функції в точці α її граничне значення буде дорівнювати значенню стрибка функції F(х).

З цього робимо висновок, що ймовірність випадкової величини в точці для неперервної функції дорівнює нулю. Це явище називають парадоксом теорії ймовірностей.

Проте нульова ймовірність події лише зазначає, що частота цієї події невпинно спадає при збільшенні числа дослідів, однак це не означає, що ця подія неможлива.

3. Функція розподілу випадкової величини є зростаючою функцією, тобто при β > α

F(β)  F(α). (2.8)

Згідно з (2.6) маємо

F(β) = F(α) + P (α  x  β).

Так як імовірність будь-якої події є додатнє число, то P (α  x  β)  0.

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а на плюс нескінченності – одиниці, тобто

F (- ) = 0, F ( + ) = 1. (2.9)

Це цілком вірно, так як при необмеженому переміщенні точки х вліво, попадання випадкової точки Х лівіше х максимально стає неможливою подією і F (-  х ) = 0. В той же час при необмеженому переміщенні точки х вправо попадання випадкової точки Х зліва від х практично стає достовірною подією, тоді F ( х  + ) = 1.

За допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність випадкової величини в будь-якому інтервалі або в кожній точці можливих значень для дискретної випадкової величини. Тому функція розподілу однозначно визначає закон розподілу випадкової величини.

Приклад 2. Функція розподілу неперервної випадкової величини Х задана виразом

0 при х  - 2,

F(x) = а(х+2)² при - 2  х  + 2,

1 при х > 2.

Знайти коефіцієнт а та побудувати графік функції F(x). Визначити ймовірність появи випадкової величини в інтервалі ( 0, +2).

Розв’язання. Скористаємося тим, що функція розподілу випадкової величини Х неперервна і при х = 2 дорівнює одиниці, тоді а(х + 2)² =1, й . Графік функції F(x) зображено на рис.2.6.

Рис.2.6

Відповідно до другої властивості функції розподілу за формулою (2.5) маємо

Р( 0 < x < 2) = F (2) – F(0) = (2 + 2)² (0 + 2)² = 0,75.

Більш наочно характер розподілу неперервної випадкової величини в невеликих інтервалах числової осі х дає функція щільності розподілу ймовірностей або диференціальний закон розподілу.

Якщо маємо функцію розподілу F(x) випадкової величини Х, то ймовірність попадання її на елементарну ділянку (х, х + х) згідно з формулою (2.5) буде:

Р(х < Х < x + х) = F(x +х) – F(x).

Знайдемо середню ймовірність, що припадає на одиницю довжини ділянки х

. (2.10)