§ 9. Найбільш імовірне число появи подій при повторних випробуваннях

Припустимо, що випробування проводяться в однакових умовах. Незаперечно, якщо однакові ймовірності появи подій, то при повторних багатократних випробуваннях існує найбільш імовірне число появи події.

Визначення. Найбільш імовірним числом k появи події А в п незалежних випробуваннях буде число, для якого ймовірність Р_п(k) перевищує чи, в крайньому разі, не менше ймовірності із решти можливих наслідків випробувань.

Приклад 1. Проведено 8 прийомів виміру кута. Ймовірність появи плюсової чи мінусової помилки однакова і дорівнює р = 0,5.

Знайти найбільш імовірне число появи плюсової помилки.

Розв’язання. Так як незалежні виміри і проводяться в однакових умовах, то ймовірності появи будь-якого числа появи плюсової помилки можна знайти за формулою біноміального розподілу (1.35) або (1.39). Тоді при п = 8

Таблиця 1.1

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	
Pn(k)	0,004	0,031	0,109	0,219	0,273	0,219	0,109	0,031	0,004	1,000

Відповідно до табл.1.1 найбільша ймовірність Р = 0,273 буде супутньою для появи шуканої події при k = 4.

Разом з тим, якщо число випробувань п велике, то застосування формули біноміального розподілу буде складним.

Посилаючись на формулу (1.36) дещо спростимо розв’язання цієї задачі. Якщо в ряді багаторазових випробувань події є найбільш імовірним число k₀ появи цієї події, то повинні виконуватися нерівності

. (1.41)

За допомогою формули (1.36) після розкриття членів отримаємо

,

або .

Після скорочень отримаємо

^.

Розв’язавши цю нерівність відносно k₀, отримаємо

k₀  np – q, (1.42)

так як (р + q) = 1.

Аналогічно із нерівності (1.41) отримаємо

.

Після скорочення маємо

,

або

k₀  np + p. (1.43)

Тоді за формулою (1.42) і (1.43) маємо подвійну нерівність, що служить для визначення найбільш імовірного числа k₀

np – q  k₀  np +p. (1.44)

Довжина інтервалу появи числа k₀ дорівнює одиниці. Тому якщо границі його є дробні числа, то маємо одне ціле число k₀, а якщо цілі, то будемо мати два найбільші ймовірного числа подій – k₀.

Приклад 2. При вимірюванні ліній теодолітних полігонів імовірність правильних вимірів окремих ліній дорівнює р = 0,90. Знайти найбільш імовірне число виміряних ліній, що відповідають вимогам точності, якщо в полігонах всього 150 ліній.

Розв'язання. За умовами прикладу п = 150, р = 0,90, q = 1 – p = 0,10. Згідно з нерівностями (1.44) маємо

1500,90 – 0,10  k₀  1500,90 + 0,90,

звідкілля 134,9  k₀  135,9.

Отже, найбільш імовірне число правильно виміряних ліній буде дорівнювати 135.

Запитання для самоперевірки

1. Що вивчає теорія ймовірностей?

2. Дайте визначення подій. Наведіть приклади.

3. Які події називають випадковими?

4. Що таке комплекс умов?

5. Як ви розумієте повну групу подій? Наведіть приклад.

6. Що називають частотою події?

7. Приведіть класичне визначення ймовірності події. В яких межах змінюється ймовірність події?

8. Що таке принцип практичної впевненості?

9. При яких умовах виникає додавання і добуток складних подій?

10. Сформулюйте теореми додавання ймовірностей.

11. Які події називають залежними і незалежними?

12. Що таке умовна та безумовна ймовірність?

13. Сформулюйте теорему множення ймовірностей.

14. Сформулюйте теорему додавання ймовірностей для сумісних подій.

15. Напишіть формули повної ймовірності та ймовірності гіпотез (Бейєса).

16. В яких задачах виникає необхідність застосування формул повної ймовірності та ймовірності гіпотез?

17. Коли застосовують формулу Бернуллі?

18. Приведіть формулу появи k-oї події при п незалежних випробуваннях?

19. Напишіть формулу добуткової функції _п(х) настання події А в серії п незалежних випробуваннях.

20. Який вигляд має добуткова функція ймовірностей появи подій, коли випробування проходять в неоднакових умовах?

21. Як визначити найбільш імовірне число появи подій при повторних випробуваннях?

35