§ 8. Повторні випробування

При проведенні дослідів доводиться проводити багаторазові повторні випробування. Це найчастіше виникає при дослідженні нових геодезичних приладів, визначенні точності нових методів вимірювань. Слід підкреслити, що дослідження ведуть при додержанні встановленого комплексу умов.

Припустимо, що при проведенні декількох випробувань з’явиться подія А з визначеною ймовірністю р. Якщо ймовірність події А в кожному досліді не залежить від наслідків інших дослідів, то такі досліди будуть незалежними відносно події А.

Тоді виникає задача – знайти ймовірність того, що в результаті проведення п незалежних випробувань подія А виникне m разів, якщо в кожному випробуванні ця подія з’являється з постійною ймовірністю Р(А) = Р.

Застосування теорем додавання та множення ймовірностей призводить до громіздких обчислень, особливо при великій кількості випробувань. Цю проблему вирішують за допомогою формули Бернуллі.

Виведення формули Бернуллі. Припустимо, що проведено п незалежних дослідів, результатом кожного може бути подія А з імовірністю Р(А) = p, або протилежна з рівнем значності Р( ) = 1 – р = q. Так як комплекс умов не змінюється, то

Р(А₁) = Р(А₂) = … = Р(А_п) = р;

Р( ) = Р( ) = ... = Р( ) = q.

Після першого випробування подія А може з’явитися чи не з’явитися, тобто можливі дві події, що утворюють повну групу: А, .

Відомо, що сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу подій, дорівнює одиниці, тоді

Р(А) + Р( ) = 1,

або p + q = 1. (1.30)

Після двох незалежних подій виникнуть складні події: АА, А А, .

Вони теж утворюють повну групу подій

Р(АА) + Р(А ) + Р( А) + Р( ) = 1. (1.31)

Так як ці події незалежні, то за теоремою множення ймовірностей із формули (1.31) маємо

р² + рq + qр + q² = 1,

або (р + q)² = 1. (1.32)

Методом математичної індукції за формулами (1.30) і (1.32) для трьох подій маємо:

(р + q)³ = 1. (1.33)

Аналогічні міркування для п дослідів приводять до висновку, що

(р + q)ⁿ = 1. (1.34)

Розкладемо біном (1.34) на суму ( п + 1) додатків, тоді

, (1.35)

де (k = ) – біноміальні коефіцієнти; крім того = = 1.

Аналіз формули (1.35) приводить до висновку, що перший член формули виражає ймовірність того, що подія А з’явиться 0 разів; другий член – ймовірність того, що подія А з’явиться 1 раз і т.д. Останній член формули – виражає ймовірність того, що подія А з'явиться п разів.

Отже ймовірність того, що при п незалежних випробуваннях, коли ймовірність появи кожної події дорівнює р, сприятлива подія з'явиться k разів і визначається формулою

Рп(k) = , (1.36)

де Рп(k) – ймовірність появи події k разів при п випробуваннях;

– число сполучень;

р – ймовірність появи події А в одному випробуванні;

q – рівень значності події А в одному випробуванні.

Тоді

+ . (1.37)

Так як члени формули (1.37) є членами розкладання бінома і одночасно визначають ймовірність появи події А при п випробуваннях ( п = ), то сукупність ймовірностей Рп(k) називають біноміальним розподілом ймовірностей (k = ).

При значеннях n i k більше 10 розрахунки проводять з застосуванням формули Стирлінга

. (1.38)

Збіг суми членів (1.37) з членами розкладання бінома дозволяє ввести для обчислень ймовірностей можливого настання події А в серії п незалежних випробувань добуткову функцію _n(x):

_n(x) = (q + px)ⁿ = qⁿx⁰ + q^n-1px¹ + … +

+ q^n-k p^k x^k + …+ pⁿ xⁿ . (1.39)

Ця функція характерна тим, що коефіцієнт при х^k в розподіленні (1.39) дорівнює ймовірності появи події А рівно k разів в серії із п незалежних випробувань в перемінних умовах. Якщо ймовірність появи події А, що проходить в неоднакових умовах в і-му досліді дорівнює Р(А_і) = р_і і рівень значності Р( ) = q_i, то ймовірність того, що подія А з’явиться рівно k разів в п незалежних випробуваннях буде дорівнювати коефіцієнту при х^k в розподіленні за степенями х добуткової функції

_n (x) = (q₁ + P₁x) (q₂ + P₂x) …. (q_n + P_nx). (1.40)

Приклад 1. Ймовірність виготовлення на автоматичному станку нівелірних рейок дорівнює 0,90. Знайти ймовірність того, що із 10-ти навмання взятих рейок 8 із них виявляться стандартними.

Розв’язання. Виготовлення рейок проводиться в однакових умовах. Тоді за формулою (1.36) при п=10, k = 8, р = 0,90, а q = 0,10 отримаємо

= 0,19.

Приклад 2. Знайти розподіл імовірностей числа прийомів виміру кута при чотирьох незалежних прийомах, якщо ймовірність виміру кута в одному прийомі дорівнює 0,9.

Розв’язання. За умовами п = 4, р = 0,9; q = 0,1. Використавши формулу (1.39), отримаємо

(0,9 + 0,1х)⁴ = 0,1⁴ х⁰ + х¹ + х² +

+ х⁴ = 0,0001х⁰ + 0,0036х¹ + 0,0486х² + 0,2916х³ + + 0,6561х⁴.

Шукані ймовірності є коефіцієнтами біля х^k:

Р₄₍₀₎ = 0,0001; Р₄₍₁₎ = 0,0036; Р₄₍₂₎ = 0,0486; Р₄₍₃₎ = 0,2916;

Р₄₍₄₎ = 0,6561.

Перевірка. = 0,0001 + 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 1.

Як бачимо розв’язання вірне, а найбільш надійне число правильних прийомів виміру кута дорівнює чотирьом.

Приклад 3. Начальник партії, інспектор ВТК та головний інженер контролюють результати топографічної зйомки. Ймовірність виявлення браку для начальника партії дорівнює 0,8, інспектора ВТК – 0,9 і головного інженера – 0,6. Знайти ймовірність того, що два із них виявлять брак.

Розв’язання. Оскільки ймовірність для кожного контролюючого різна, тобто випробування проходять в різних умовах, то застосуємо добуткову функцію (1.40). Тоді при р₁ = 0,8; р₂ = 0,9; р₃ = 0,6 і q₁ = 0,2; q₂ = 0,1; q₃ = 0,4. Отримаємо:

₃(х) = (0,2 + 0,8х) (0,1 + 0,9х) (0,4 + 0,6х) = 0,008х⁰ + 0,272х¹ +

+ 0,288х² + 0,432х³.

Коефіцієнт біля х² є шуканою ймовірністю Р₃₍₂₎ = 0,288.

Між іншим, маємо найбільшу ймовірність того, що троє перевіряючих знайдуть брак, так як Р₄₍₃₎ = 0,432.