§ 6. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Якщо декілька подій за умовами випробування сумісні і подія виникає коли наступає хоча б одна із подій, то ймовірність її визначається теоремою:

Ймовірність появи хоча б однієї із двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісного виникнення

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (1.21)

або

Р(А + В) = 1 – Р( ) Р( ). (1.22)

В загальному вигляді методом математичної індукції можна знайти

Р(А₁+А₂ + ... + А_п) = Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_п) – Р(А₁А₂) –

– Р(А₁А₃) – ... – Р(А_п-1 А_п) + ... + (-1)^п Р (А₁А₂ ... А_п), (1.23)

або

Р(В) = Р(А₁ + А₂ + ... + А_п) = 1 – Р( . (1.24)

Доведення. Розглянемо формулу (1.24). Найдемо зв’язок: протилежна подія тотожна такому випадку, коли з’явиться хоча б одна протилежна подія . Це можливо, якщо не з’явиться жодна подія А_і, що може бути коли одночасно з’являються всі протилежні події .

В цьому випадку застосуємо теорему множення, тоді

.

Для незалежних подій

. (1.25)

Оскільки Р(В) + Р( ) = 1, то від формули (1.25) переходимо до формули (1.24), що і треба було довести.

Коли ймовірність подій Р(А_і) є рівною, то

Р(В) = 1  . (1.26)

Приклад 1. З пунктів мостової тріангуляції двома різними методами виноситься центр опори моста. Ймовірність події першого методу дорівнює Р(А) = 0,90, а другого – Р(В) = 0,80. Знайти ймовірність перенесення центра опори моста з заданою точністю.

Розв’язання. Так як події А і В сумісні і незалежні, то ймовірність події С = А + В згідно з формулами (1.21) і (1.22) визначиться

Р(С) = 0,90 + 0,80 – 0,90  0,80 = 0,98;

Р(С) = 1 – 0,10  0,20 = 0,98.

Приклад 2. Кути мережі тріангуляції вимірювалися п’ятьма виконавцями. Ймовірність надійної роботи кожного дорівнювала Р(А_і) = 0,90. Яка ймовірність того, що нев’язки трикутників мережі будуть допустимими?

Розв’язання. Події вимірювання кутів кожним виконавцем робіт незалежні один від одного, але сумісні. Недопустима нев’язка з’явиться коли хоча б один із вимірів буде помилковим. Так як ймовірності кожного виміру кута однакові Р(А_і) = 0,90, то за формулою (1.26) знаходимо

Р(В) = 1 - = 1 – 0,10⁵ = 0,99995  1.

§ 7. Формула повної ймовірності. Теорема гіпотез (формула Бейєса)

Припустимо, що цікава для нас подія А може настати (чи ні ) з однією із низки несумісних подій Н₁, Н₂, ..., Н_п, що складають повну групу подій. Їх називають гіпотезами.

Якщо відомі ймовірності гіпотез Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_п) і умовні ймовірності події А при здійсненні кожної гіпотези Н_і, тобто Р , Р , ..., Р , то ймовірність події А визначається теоремою.

Ймовірність події А, що може виникнути разом з однією із гіпотез Н₁, Н₂, ..., Н_п дорівнює сумі парних добутків ймовірностей кожної із цих гіпотез на відповідні їм умовні ймовірності появи події А:

. (1.27)

Її називають формулою повної ймовірності.

Доведення. Гіпотези Н₁, Н₂, ..., Н_п утворюють повну групу подій. В цьому випадку подію А можна подати у вигляді додавання подій

А = АН₁ + АН₂ + ... + АН_п = .

Разом з тим події Н_і несумісні, тоді і події АН_і ( ) незалежні. Це дозволяє нам застосувати для визначення ймовірності події А теорему додавання ймовірностей несумісних подій (1.9). Тобто

. (1.28)

Ймовірність добутку подій А і Н_і визначаємо за теоремою множення ймовірностей (1.16)

Р(АН_і) = Р(Н_і)Р .

Підставимо цей вираз у формулу (1.28) і отримаємо

що і треба було довести.

Приклад 1. На складі зберігається 100 теодолітів з оптичним мікрометром, одержаних з трьох різних заводів відповідно: 40, 25 і 35 штук. Із числа приладів не потребують введення поправки за рен: 35 - першого, 20 - другого і 32 - третього заводу. Визначити ймовірність того, що взятий навмання прилад не потребує введення поправки за рен.

Розв’язання. Позначимо: Н₁ – вибір приладу першого заводу; Н₂ – другого заводу; Н₃ – третього заводу; А – подія вибору приладу, що не потребує введення поправки за рен.

Знайдемо ймовірності гіпотез Н₁, Н₂ і Н₃ за формулою (1.2)

Р(Н₁) = = 0,40; Р(Н₂) = = 0,25 і Р(Н₃) = = = 0,35.

Обчислимо умовні ймовірності події А, що відображають вибір приладу, який не потребує введення поправки в рен. Для кожної із гіпотез Н₁, Н₂, Н₃ отримаємо

Р = = 0,88;

Р = = 0,80;

Р = = 0,91.

Знайдені ймовірності гіпотез Р(Н₁), Р(Н₂), Р(Н₃) і умовних ймовірностей Р , Р , Р підставимо в формулу (1.27) і отримаємо

Р(А) = 0,40 · 0,88 + 0,25 · 0,80 + 0,35 · 0,91 = 0,87.

Аналогічно можна обчислити ймовірність того, що випадково взятий прилад потребує введення поправки за рен

Р( ) = 0,40 · 0,12 + 0,25 · 0,20 + 0,35 · 0,09 = 0,13.

Розглянемо такий випадок. Є певна група несумісних подій Н₁, Н₂, ..., Н_п. Відомі їх імовірності Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_п). Після проведення дослідів з’явилася подія А, умовні ймовірності якої за кожною із гіпотез відомі і дорівнюють Р , Р , ..., Р .

Виникає запитання: Якою буде ймовірність гіпотези Н_і ( ) в зв’язку з появою події А?

Умовні ймовірності для кожної гіпотези визначають теоремою гіпотез.

Ймовірність гіпотези після випробувань дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробувань на відповідну їй умовну ймовірність події, що з’явилась при проведенні досліду, поділеному на повну ймовірність цієї події

. (1.29)

Її називають формулою Бейєса.

Доведення. Відповідно до формули (1.16) маємо

Р(А) = Р(Н_і) .

Якщо Р(А) 0, то з цього рівняння маємо формулу Бейєса

.

Виразимо Р(А) формулою (1.27) і отримаємо підтвердження теореми (1.29).

Приклад 2. В трьох теодолітних полігонах відповідно 20, 15 і 10 кутів. Серед них в першому полігоні 2, в другому – 1 і в третьому – 2 кути виміряні з недопустимою помилкою. Якщо при перевірці випадково взятий в журналі кут виявився помилковим, то яка буде ймовірність того, що він належить другому полігону?

Розв’язання. Визначимо через Н₁, Н₂ і Н₃ гіпотези того, що випадково взятий кут відноситься до першого, другого і третього полігонів. Тоді ймовірності цих гіпотез при проведенні контролю рівні між собою, тобто

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = .

Умовні ймовірності події появи помилкового кута за гіпотезами Н₁, Н₂, Н₃ дорівнюють

; і .

За формулою (1.29) знаходимо ймовірність гіпотези того, що випадково взятий кут буде із другого полігона

= 0,18.

Якщо взятий кут виявиться правильним, то знайдемо, чому дорівнює ймовірність того, що цей кут буде із першого полігона?

В цьому випадку умовні ймовірності появи правильного кута за гіпотезами Н₁, Н₂ і Н₃ будуть дорівнювати

; ;

.

= 0,34.