§ 5. Добуток подій. Теорема множення ймовірностей

Якщо подія S складається із А,В,С, ..., N простих подій, то може виникнути становище, коли вони всі разом сумісно з’являються.

Добуток S подій А, В, С, ..., N позначають так .

Приклад 1. Якщо подія А – є вірний результат виміру лінії; подія В – вірний результат виміру дирекційного кута, то подія С = визначає те, що вірними будуть і обчислені прирости координат х і у.

Перед розглядом теореми множення ймовірністей введемо поняття про залежні і незалежні події.

Подія А називається незалежною по відношенню до події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, виникла подія В чи ні. В противному випадку подію А називають залежною від події В.

Приклад 2. При контролі знань студента викладач бере відлік по шкалі приладу після того, як відлік взяв студент. Імовірність помилки студента не залежить від помилки викладача і навпаки.

Декілька подій називають незалежними в сукупності, якщо кожна з них та будь-яка складна подія (складена із решти комбінацій всіх чи частки подій) – події незалежні.

Приклад 3. Якщо для вимірювання кута за інструкцією треба виконати два прийоми, то подія правильного виміру кута після другого прийому залежна, так як вона може виникнути лише за умови правильного вимірювання кута в першому прийомі.

Умовною ймовірністю називають імовірність, обчислену в передбаченні того, що одна чи декілька подій уже виникли.

Математично умова залежності події А від події В записується у вигляді

Р Р(А), (1.13)

а умова незалежності – у вигляді

Р = Р(А). (1.14)

На відміну від умовної ймовірності, ймовірність незалежних подій інколи називають безумовною ймовірністю.

Множення ймовірностей визначають теоремою: ймовірність множення двох чи декількох подій дорівнює множенню ймовірності однієї з них на умовні ймовірності решти подій, розрахованих у передбаченні, що всі попередні події мали місце.

Тобто

Р(А₁,А₂, ..., А_п) = Р(А₁)Р ... Р , (1.15)

або

.

Ймовірність множення двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на ймовірність другої, тобто

Р(АВ) = Р(А) Р = Р(В) Р . (1.16)

Із теореми множення ймовірностей витікає два висновки.

Висновок 1. Якщо подія А не залежить від події В, то і подія В не залежить від події А.

Доведення. Так як подія А не залежить від події В, то Р(А) = Р .

За теоремою множення ймовірностей маємо

Р(А) Р = Р(В) Р .

Згідно з умовою (1.16) отримаємо

Р(А) Р = Р(В) Р(А).

Скоротимо на Р(А) і одержимо підтвердження висновку

Р = Р(В).

Тобто дві події незалежні тоді, коли поява однієї із них не змінить імовірності другої.

Висновок 2. Ймовірність незалежних подій в сукупності подій дорівнює множенню ймовірностей цих подій.

Тоді формула (1.15) буде

Р(А₁, А₂ ,...,А_п) = Р(А₁) Р(А₂)  ... Р (А_п), (1.17)

або

. (1.18)

Доведення. Для спрощення доказу візьмемо дві події А і В. Позначимо:

N₁ – число всіх можливих випадків при випробуванні в яких з’явиться подія А;

N₂ – число всіх можливих випадків при випробуванні в яких з’явиться подія В;

M₁ – число сприятливих випадків події А;

М₂ – число сприятливих випадків події В.

Загальна кількість можливих наслідків пар А і В, А і ; і В, і дорівнює N₁  N₂.

Число випадків, сприятливих сумісному виникненню подій А і В дорівнює М₁  М₂. Тоді ймовірність сумісного виникнення подій А і В дорівнює

.

Тобто Р(АВ) = Р(А)  Р(В). (1.19)

Якщо ймовірність всіх подій однакова, тобто Р(А₁) = Р(А₂) = ... = = Р(А_п) = Р,

то

Р (А₁ А₂ ... А_п) = Р ^п. (1.20)

Приклад 4. Вимір кута складається із ряду елементарних подій: А – центрування теодоліта, В – установка візирних цілей, С – візування зоровою трубою на візирні цілі, D – взяття відліку по лімбу горизонтального круга. Якщо ймовірності окремих подій дорівнюють Р(А) = 0,90; Р(В) = 0,95; Р(С) = 0,90; Р(D) = 0,99, то чому дорівнює ймовірність правильного виміру кута – Р() = ?

Розв’язання. Так як ймовірності подій А,В,С і D незалежні, і всі вони повинні з’явитися сумісно, то

Р() = Р(А)  Р(В)  Р(С)  Р(D),

тобто

Р() = 0,90  0,95  0,90  0,99 = 0,76.