§ 3. Частота і ймовірність події

Припустимо, що проведено п дослідів. В кожному з них з’явилася, чи ні, деяка подія А.

Частотою події А називають відношення числа появи події А до числа всіх дослідів (подій). Позначимо частоту події A через Q, тоді

, (1.1)

де k – число сприятливих подій події А, а п – число всіх подій.

Приклад. Для контролю якості виготовлення нівелірних рейок за зміну довільно вибрано 100 виробів, серед яких 5 рейок виявились бракованими. Тоді частота появи бракованих рейок при п = 100 і k = 5 буде

= 0,05.

Частота вірогідної події буде дорівнювати одиниці. Це виникає з того, що вірогідна подія А виникає при кожному випробуванні, тоді k = п, а

.

Частота неможливої події дорівнює нулю, оскільки при повторенні дослідів неможлива подія не виникає, тобто k = 0, a . Зрозуміло, що випадкова подія А в серії із п подій може з’явитися від 0 до п разів, тобто

.

Це говорить про те, що частота випадкової події А буде додатня між нулем і одиницею, тобто

Слід зазначити, що при проведенні декількох серій досліджень за одних і тих же умов, частота подій не залишиться постійною. Разом з тим, якщо збільшувати число досліджень, то частота з часом стабілізується і прийме значення, що мало відрізняється від деякого цілком визначеного числа. Таким чином біля цієї постійної величини будуть групуватися частоти, що відображають зв’язок між комплексом умов, за яких відбувається дослідження, і подією. Цю постійну величину і називають імовірністю подій.

Ймовірність випадкової події – постійне число, біля якого групуються частоти події при збільшенні числа досліджень.

Цей спосіб визначення ймовірності події А називають статистичним. Її позначають Р(А). Він має як перевагу в тому, що виникає із експерименту, так і недолік у тому, що для надійного визначення ймовірності треба виконати велику кількість досліджень. Це утруднює можливості фактичного обчислення ймовірності. Тому в теорії ймовірностей розглядають класичне визначення ймовірності події.

Класичний спосіб визначення ймовірності базується на понятті рівноможливих подій, що відносяться до одного досліду і утворюють повну групу несумісних подій, які називають випадками або шансами.

Наприклад, випробування з підкидуванням монети. Події А – поява герба і В – поява цифри рівноможливі, несумісні і утворюють повну групу подій при п випробуваннях.

При проведенні дослідів випадки (шанси) поділяють на сприятливі, при яких подія відбувається і несприятливі, при яких подія не відбувається.

Відношення числа сприятливих випадків даної події до загального числа рівнозначних випадків називають класичним визначенням ймовірності. Вона виражає числову характеристику об’єктивної можливості появи події.

Важливим досягненням цього способу є те, що за його допомогою можна визначити ймовірність події до випробування і зробити потрібні висновки.

Якщо дослід зведений до схеми випадків (шансів), то ймовірність події А обчислюють за формулою

Р(А) = , (1.2)

де М – число сприятливих випадків; N – число всіх випадків.

Статистичне визначення ймовірності стверджує, що ймовірність події – це таке число, навколо якого коливається частота цієї події при проведенні досліду. Звідсіля витікають аксіоми теорії ймовірностей:

• ймовірність достовірної події U дорівнює одиниці Р(U) = 1;

• ймовірність неможливої події V дорівнює нулю – Р (V) = 0;

• ймовірність випадкової події А є додатнє число, що міститься між нулем і одиницею, тобто

. (1.3)

Приклад 1. Ймовірність появи додатної (мінусової) помилки при одному вимірюванні лінії, кута чи перевищення буде дорівнювати Р(А) = , так як в цьому випадку М = 1, а N = 2.

Приклад 2. При вимірюванні 100 кутів в теодолітних полігонах 90 кутів виявились правильними. Обчислити ймовірність появи браку в роботі.

Розвязання. Число всіх випадків N = 100, а число сприятливих браку випадків буде М = 100 – 90 = 10. Тоді Р(А) = = 0,1.

Властивість стійкості частоти подій при багаторазових випробуваннях стала предметом досліджень вчених. Якщо при збільшенні числа дослідів величина частоти наближається до значення ймовірності, то це означає, що їх різниця стає менша будь-якого як завгодно малого додатного числа. Цю властивість Якоб Бернуллі (1654–1705) сформулював як теорему: при необмежено великій кількості п випробувань з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці, частота події як завгодно мало відрізняється від її ймовірності в окремому досліді, або

, (1.4)

де ξ і δ – як завгодно малі додатні числа.

Ця формула дає можливість емпірично визначати ймовірність події, якщо її не можна знайти іншим шляхом. Але при цьому виникає необхідність проведення великої кількості випробувань.

На практиці ми зустрічаємось не тільки з вірогідними і неможливими подіями, а й з так званими «практично вірогідними» і «практично неможливими» подіями.

Приклад: На стадіоні місткістю 100 000 чол. розігрується 1 легкова автомашина. При всіх проданих білетах імовірність виграшу автомашини Р (А) = , тобто зовсім незначна. Така подія практично неможлива.

Практично вірогідною подією називають подію, величина ймовірності якої досить близька до одиниці.

Якщо подія А в досліді практично неможлива, то протилежна їй подія буде практично вірогідна. Практично неможливі і практично вірогідні події мають велику роль в теорії ймовірностей і лежать в основі практичного використання цієї науки.

Наприклад. При ймовірності події, яка дорівнює Р = 0,4, ми не маємо нагоди передбачити результат події.

Якщо ймовірність події близька до одиниці чи до нуля, то це дає нам можливість передбачити очікуваний результат. При цьому ми керуємось так званим принципом практичної впевненості. Він не може бути доведений математично, проте він підтверджується практичними діями.

Питання про те, наскільки малою повинна бути ймовірність події, щоб нею можна було знехтувати, вирішується в кожному окремому випадку, виходячи із практичних міркувань, згідно з важливістю виконуваного досліду.

Наприклад. Якщо ймовірність метрологічної відмови деяких характеристик геодезичних приладів дорівнює Р(А) = 0,001 і ми ще можемо з цим миритися, то ймовірність відмови парашута при стрибку, що дорівнює Р(В) = 0,001 не може бути практично неможливою подією і при цьому необхідно підвищувати надійність роботи парашута.

Звідси приходимо до висновку, що при вирішенні практичних завдань для кожної події необхідно встановити допустиму величину відхилення ймовірності від одиниці, чи нуля для того, щоб визнати подію практично вірогідною, чи навпаки – практично неможливою.

При вирішенні більш складних задач використовують знання із комбінаторної математики. Розглянемо деякі види комбінацій із п елементів:

1. Перестановки – це комбінації із п елементів, які відрізняються тільки порядком розміщення в них елементів.

Число перестановок визначається за формулою

А_п = п! (1.5)

Приклад. Два елементи а і b можна розташувати тільки 1) ab і 2) ba. Тоді за формулою (1.5) А_п = 1 2 = 2.

2. Розміщення із п елементів по k елементів.

Їх число визначається за формулою

. (1.6)

Ці комбінації відрізняються як порядком елементів, так і самими елементами.

Наприклад. Розміщення елементів а, b, с по два будуть: 1) ab, 2) ас, 3) bc, 4) ba, 5) са, 6) cb. За формулою (1.6) знаходимо

.

3. Сполучення із п елементів по k елементів. В цих комбінаціях виявляється різниця тільки самих елементів незалежно від їх порядку розміщення. Їх число визначається за формулою

, (1.7)

при цьому ; .

У попередньому прикладі при п = 3 і k = 2 одержимо: 1) ab, 2) ас, 3) bc

або .

Приклад. На топографічному планшеті є 10 пунктів, 4 із них навмання відбирають для контролю. Скількома способами можна вибрати із 10 пікетів 4 пікети?

Розв’язання. За формулою (1.7) знаходимо

разів.