В С Т У П

Людство безперервно перебуває у вирі подій, що відбуваються в навколишньому світі. Для їх вивчення проводяться наукові дослідження, експерименти, випробування. При цьому досить часто зустрічаються явища, які при повторних випробуваннях та практично незмінних умовах виникають кожен раз дещо інакше. Щоб навчитися впливати на їх хід, знати закони виникнення і дії, необхідно розробляти теоретичні основи математичної обробки їх результатів.

Для цього розробляють і досліджують вимірювальні прилади, методики вимірювань. Результатами вимірів завжди є число або сукупність чисел, які кількісно характеризують ті чи інші досліджувані фізичні величини. Результати вимірів несуть в собі велику наукову інформацію, що дозволяє не лише характеризувати сьогоденний перебіг подій, а і передбачати їх дію.

Д.І.Менделєєв говорив: “Наука розпочинається там, де починають вимірювати”.

Як би ми не намагалися удосконалити прилади та технологію виконання вимірів, безперервно змінюються умови, в яких відбуваються виміри, і тому ми не можемо однозначно характеризувати ту чи іншу величину її істинним значенням. Вдосконалюючи прилади та методи вимірювань ми можемо лише наближатися до їх істинних значень. В результаті багаторазових повторних вимірювань ми отримуємо ряд різних числових значень однієї і тієї ж величини. Виникають похибки вимірів, розмір і характер їх дії впливають на визначення надійного значення виміряної фізичної величини найбільш близького до істинного. Зрозуміло, що при цьому виникають дві головні задачі:

1. Обчислення надійного ймовірного значення виміряної величини, близького до істинного.

2. Визначення точності виміряної величини.

Для вирішення цих задач необхідна розробка математичних методів обробки результатів вимірів.

З точки зору значення вимірів в науці і інженерній діяльності людини головним є їх висока якість, яка знаходиться в прямій залежності від похибок вимірів. Точність результатів вимірів можна характеризувати критеріями або числовими характеристиками, які і будуть мірою якості вимірювальних робіт.

Виникнення похибок при виконанні вимірів є безумовним явищем в силу того, що і прилади, навколишнє середовище, і самі виконавці робіт безперервно змінюються.

Тому при організації вимірювальних робіт розв’язують такі задачі:

1. При дослідженні нових явищ виміряні величини слід визначати з максимально високою точністю, яку можна досягнути приладами та методикою вимірювань.

2. При заданій точності вимірювань виконувати їх з необхідною і достатньою точністю.

3. Застосовувати такі методи математичної обробки результатів вимірів, які дозволяють отримати найбільш надійні кількісні та якісні характеристики вимірюваної величини.

Слід зауважити, що при недоброякісних результатах вимірів неможливо отримати доброякісні результати. Разом з тим, невмілим застосуванням математичних методів обробки результатів вимірів можна спотворити кінцеві результати.

Таким чином, протягом багатьох років удосконалювалися не лише прилади та технологія вимірювальних робіт, а і методи математичної обробки результатів вимірів.

При проведенні геодезичних та кадастрових робіт виконується безмежно велика кількість вимірів. В геодезії виконують складні вимірювання з визначення форми та розмірів Землі. На поверхні землі, під землею та під водою виконують виміри для складання карт і планів, розв’язання великого спектра інженерних задач. В землевпорядних та кадастрових роботах виконують виміри з організації територій, складання кадастрових планів, визначення параметрів нерухомості для розв’язання задач з управління територіями. Тому фахівці повинні мати ґрунтовні знання не лише з технології виконання вимірювань, а й володіти методами математичної обробки їх результатів, що приводять до найкращих кінцевих результатів.

Математична обробка геодезичних вимірів – дисципліна, що вивчає математичні методи обробки результатів вимірів з метою отримання надійних кількісних і якісних характеристик.

Математична обробка геодезичних вимірів постійно удосконалюється, завдяки постійному розвитку математичних наук та поглибленню знань науковців, котрі займаються розробкою методів математичної обробки результатів вимірів. Вона є математичною дисципліною.

Математична обробка результатів вимірів базується на знаннях з математики, фізики, вищої математики. Її математичним фундаментом є теорія ймовірностей і математична статистика. При розробці методів математичної обробки вимірів широко використовують знання з теорії випадкових функцій, дисперсійного та кореляційного аналізу, методу найменших квадратів, теорії графів, теорії надійних інтервалів та інших математичних наук.

Курс математичної обробки вимірів поділяється на два розділи:

1. Теорія похибок вимірів.

2. Метод найменших квадратів.

Теорія похибок вимірів вивчає їх загальні закономірності, розглядаючи результати вимірів як випадкові величини і розробляє методи отримання кількісних та якісних характеристик виміряних величин.

Основними задачами теорії похибок вимірів є:

1. вивчення причин виникнення та законів розподілу похибок вимірів;

2) розробка критеріїв оцінки точності результатів вимірів;

3) визначення граничних похибок вимірів;

4) визначення найбільш надійного значення виміряної величини;

5) статистична перевірка гіпотез;

6) розробка методів розрахунку точності вимірів на стадії розробки проектних рішень;

Вивчення цих питань складає першу частину навчального посібника. В другій частині буде викладено основні теоретичні положення способу найменших квадратів.

Теоретичні основи математичної обробки результатів геодезичних вимірів розвиваються в міру розв’язання практичних проблем і розвитку теоретичних основ математичних методів. Так в 1700 р. Р.Котс ввів поняття ваги вимірів, в 1748 р. Л.Ейлер в сукупності розглядав результати вимірів. В 1755 р. Т.Симпсон обґрунтував принцип арифметичної середини, а Р.Боскович запропонував розв’язувати систему лінійних рівнянь з умови мінімуму абсолютних значень поправок. Далі І.Ламберт аналізував дію систематичних та випадкових похибок, а в 1770 р. Ж.Лагранж використав теорію ймовірностей для аналізу випадкових похибок. В 1802 р. П.Лаплас розробив теорію вирівнювання геодезичних вимірів при умові рівності нулю алгебричної суми поправок і мінімальної суми їх модулів [10].

В 1806 р. А.Лежандр (1752 – 1833) опублікував наукову роботу “Нові методи визначення кометних орбіт”, яка вперше висвітлювала основні теоретичні положення методу найменших квадратів. Майже одночасно в 1809 р. Карл Гаусс (1777 – 1855) обґрунтував класичну теорію методу найменших квадратів в роботі “Теорія руху небесних тіл, що обертаються навколо Сонця по конічних перерізах”. Ця робота і сьогодні має велике наукове і практичне значення та застосування при вирівнюванні геодезичних мереж. К.Гаусс обґрунтував метод найменших квадратів за принципом найбільшої ваги вимірів, розробив класичний спосіб розв’язання нормальних рівнянь, визначення ваги невідомих параметрів та ваги функцій зрівняних невідомих, запропонував формулу для обчислення середньої квадратичної похибки.

Розробкою методу найменших квадратів займались видатні вчені з математики, астрономії та геодезії – Ф.Бессель, П.Ганзен, Й.Енне, О.Шрейдер, В.Йордан, Ф.Гельмерт, А.Н.Шиянов, В.Я. Струве, К.И.Теннер, А.Н.Савич.

В 1859 р. П.Л.Чебишев розробив теорію інтерполювання. Досить ґрунтовні дослідження А.А.Маркова продовжили А.М.Ляпунов, С.Н.Бернштейн, А.М.Колмогоров, Б.В.Гнеденко. В.В.Витковський в курсах геодезії і топографії розробив різноманітні способи вирівнювання геодезичних мереж.

Виконані в Радянському Союзі величезні роботи зі створення державних геодезичних мереж на великих територіях сприяли розробці нових методів математичної обробки масивів геодезичних вимірів. Великий внесок в розробку способів вирівнювання геодезичних мереж зробили Ф.Н.Красовський, Н.А.Урмаєв, А.С.Чоботарьов та ін. Фундаментальну роботу зі вирівнюання геодезичних мереж було видано І.Ю.Праніс-Праневичем. Величезний обсяг складних обчислень зі вирівнювання геодезичних мереж виконано під керівництвом Д.А.Ларіна.

Багато складних питань зі вирівнювання мереж було розв’язано дослідженнями Н.Г.Келля, П.С.Закатова, А.І.Дурнєва, А.В.Маслова, К.Л.Прохорова, А.В.Гордєєва, Б.А.Литвинова, Ю.В.Кемниця, Б.Н.Ганьшина, А.І.Кобиліна та інших.

Згодом метод найменших квадратів отримав імовірнісно-статистичне обгрунтування в працях А.Й.Мазмашвілі, П.А.Гайдаєва, В.Д.Большакова, Ю.Неймана, Ф.Деніса, Р.Фішера, Г.Крамера, Б.Ван дер Вардена, М.В.Смирнова, Ю.В.Лінника, Д.А.Бєлугіна та інш.

На Україні дослідженнями з математичної обробки геодезичних вимірів займалися вчені Києва та Львова. Так у 1960 р. П.Т.Бугай видав класичний підручник “Теорія помилок і спосіб найменших квадратів”. В 1978 р. М.Г.Відуєв та А.Г.Григоренко видають оригінальний навчальний посібник “Математична обробка геодезичних вимірів”. Проф. М.Г.Відуєв разом з Г.С.Кондрою видають важливі монографії з імовірнісно-статистичного аналізу похибок вимірів, дисперсійного аналізу в теорії і практиці геодезичних вимірів (1968, 1969 рр.). Ці роботи і сьогодні відіграють важливу роль в розробці і практичному застосуванні математичних методів обробки результатів вимірів.

Сьогодні вирівнювання геодезичних мереж виконується з використанням потужної електронно-обчислювальної техніки.

Алгоритмізація вирівнювальних обчислень розвивається в роботах Ю.Маркузе (Москва). Значні роботи з дослідження та розробки програмного забезпечення для вирівнювання геодезичних мереж виконані в Україні В.Бєляєвим, Ю.Карпінським, О.Марченко. Новий напрямок з впровадження методу скінченних елементів при вирівнюванні геодезичних мереж, розв’язанні інших задач геодезії започатковано Ю.Карпінським.

Наявність сучасної обчислювальної техніки і програмного забезпечення дозволяють автоматизувати процес вирівнювання найскладніших геодезичних мереж, відкрили нові можливості розвитку математичних методів обробки результатів геодезичних вимірів.

Глава I. Елементи теорії ймовірностей

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

§ 1. Предмет і задачі теорії ймовірностей

В своїй практичній діяльності нам доводиться вирішувати різноманітні фізичні та технічні задачі. Наприклад, на точній аналітичній вазі ми зважимо декілька разів одне і теж тіло. При цьому результати вимірів будуть дещо відрізнятися одне від одного. Ці різниці будуть залежати від таких другорядних факторів, як положення тіла на чаші ваги, випадкові вібрації, помилки відліку по шкалі приладу та інше.

Різні результати ми одержимо, якщо спробуємо декілька разів вимірити лінію, кут, чи координати визначуваної точки відносно вихідної. Це буде обумовлено впливом помилок приладів, деякими змінами зовнішнього середовища і т.д.

Більш наочно ми переконаємось в різниці результатів при стрільбі з гвинтівки по мішені. В результаті випадкових факторів ми одержимо розсіювання куль.

Таким чином ми зустрічаємося з особливого типу явищами, які називають випадковими.

Випадкові явища - це такі явища, які при неодноразовому відтворюванні одного і того ж досліду щоразу протікають дещо інакше.

Одночасно встановлено, що при багаторазовому повторенні досліду помітні деякі закономірності результатів.

Теорія ймовірностей - це математична наука, яка вивчає загальні закономірності випадкових явищ незалежно від їх природи виникнення і пропонує методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища.

Все в світі закономірно, вчить діалектика. Класики діалектичної теорії стверджують, що там, де на поверхні відбувається гра випадковості, там сама ця випадковість завше виявляється підвладною внутрішнім, прихованим законам. Вся справа полягає лише в тому, щоб відкрити ці закони

Це означає, що незалежно від міри впливу численних факторів, які не піддаються контролю, постійно змінюються і випадково розсіюються на результати експериментів, в масі вони є закономірними.

Ми будемо вивчати закономірності таких випадкових явищ, які мають відносну стійкість деяких властивостей. Так відсоток народження хлопчиків по відношенню до загальної кількості народження дітей в великих містах в різні роки достатньо стійкий (приблизно 51,5 %). Це можна віднести і до таких випадкових явищ, як нещасні випадки в окремі дні тижня, місяців і років, – пожежі, град та інші стихійні лиха. Досить стійкими є середні значення зросту людей, місячних температур на окремих географічних широтах, хоча вони мають випадковий характер.

Для вивчення різноманітних явищ навколишнього середовища проводять спостереження, досліди та випробування.

Основою наукових досліджень є спостереження. При цьому ми виявляємо якісні та кількісні ознаки фізичних об’єктів. Кількісні ознаки визначають точно дискретними обчисленнями або шляхом вимірів, що дають, як правило, наближений результат. Наприклад, ми точно знаємо кількість (число) прийомів вимірів, а відхилення результатів від істинного значення лише наближено.

Проте теорія ймовірностей вивчає як випадкові події, так і випадкові величини.

Випадкова величина - це величина, яка при досліді приймає значення заздалегідь невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Теорія ймовірностей вивчає і випадкові функції, що складаються з випадкових величин.

Якщо при проведенні дослідів ми не можемо одержати точний результат у зв’язку з дією випадкових факторів, то виникає ряд запитань:

– Яка вірогідність одержати правильний результат? Скільки потрібно повторити дослід, щоб отримати правильний результат? Які можна вжити заходи, щоб зменшити кількість дослідів?

Всі ці питання мають випадкову природу явищ і для того, щоб відповісти на них, потрібно вивчати випадкові явища розсіювання результатів дослідів з точки зору їх закономірностей, властивих їм, як випадковим явищам.

Звідси випливає задача теорії ймовірностей з дослідження закону розподілу результатів експериментів і випадкових причин, які спричинюють розсіювання і т.д. Це, в свою чергу, потребує розробки ймовірних методів вивчення випадкових явищ.

Математичні закони теорії ймовірностей відображають реальні статистичні закони, які об’єктивно існують в безлічі випадкових явищ природи. Теорія ймовірностей вивчає ці явища математичними методами, і одним із точних і строгих розділів математики.