1 вопрос:
Понятие
матрицы: матрица –прямоугольная таблица,
состоящая из m
строк и n
столбцов.
Виды
матриц: Матрица-строка (состоит из одной
строки) Матрица-столбец (состоит из
одного столбца) Единичная матрица
(матрица, у которой на гл. диагонали
находятся единицы,а все остальные
элементы=о) Транспонирование матрицы-
переход от матрицы А к матрице А’, в
которой строки и столбцы поменялись
местами с сохранением их
порядка.(соответственные строки стали
столбцами) Две матрицы одного размера
называются равными, если они совпадают
поэлементно. Алгебраические операции
над матрицами: *Умножение матрицы на
число.(произведение матрицы А на некоторое
число К, неравное 0, называется матрица
В, элементы которой =.(нужно каждый
элемент умножить на это число)) К не = 0;
В ij=k
x
aij.
Справедливо обратное утверждение:
общий множитель всех строк или столбцов
можно выносить за знак матрицы. *Сумма
двух матриц.(алгебраической суммой двух
матриц А и В называется матрица С,
элементы которой соответственно
=.)(матрицы одинаковых размеров складываются
поэлементно) Сij
= aij
+(-) bij.
*Умножение матриц.(произведение двух
матриц А и В существует в том случае,
если число столбцов матрицы А= числу
строк матрицы В)Элементы матрицы С
определяются по правилу: элемент
сij=cумме
произведений i-той
строки матрицы А на j-тый
столбец матрицы В(строка одного множителя,
столбец от другого)
2 Вопрос:
Определитель-
число, характеризующее квадратную
матрицу А. Определителем матрицы 2
порядка(или определителем 2-го порядка)
называется число
Определителем
матрицы третьего порядка называется
число=
Для
того, чтобы легче запомнить эту формулу,
можно использовать так называемое
правило треугольников. Оно заключается
в следующем: элементы, произведения
которых входят в определитель со знаком
«+», располагаются так: образуя два
треугольника, симметричных относительно
главной диагонали. Элементы, произведения
которых входят в определитель со знаком
«-», располагаются аналогичным образом
относительно побочной диагонали.
Свойство
1
Определитель не изменяется при
транспонировании, т.е.
Доказательство.
=
Замечание. Следующие свойства
определителей будут формулироваться
только для строк. При этом из свойства
1 следует, что теми же свойствами будут
обладать и столбцы.
Свойство
2.(Если
элементы какой-либо строки(столбца)
умножить на одно и тоже число к, отличное
от 0, то определитель увеличится в к раз)
При умножении элементов строки
определителя на некоторое число весь
определитель умножается на это число,
т.е.
Доказательство.
Свойство
3.
Определитель, имеющий нулевую строку,
равен 0.
Доказательство этого свойства следует
из свойства 2 при k
= 0. Свойство
4.(если
какая-либо строка(столбец) матрицы
состоит из одних 0, то её определитель
=0) Определитель, имеющий две равные
строки, равен 0.
Доказательство.
Свойство 5. (если квадратная матрица содержит 2 одинаковые строки(столбца), то её определитель = о)Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.
Доказательство следует из свойств 2 и 4.
Свойство
6.
При перестановке двух строк(столбцов)
матрицы определитель меняет знак на
противоположный.
Доказательство.
Свойство
7.
Доказательство
этого свойства можно провести
самостоятельно, сравнив значения левой
и правой частей равенства, найденные с
помощью определения 1.5(определитель 3
порядка). Свойство
8.
Величина определителя не изменится,
если к элементам одной строки(столбца)
прибавить или отнять соответствующие
элементы другой строки(столбца),
умноженные на одно и то же число.
Доказательство
следует из свойств 7 и 5 Теорема Лапласа:
Определитель квадратной матрицы = сумме
произведений элементов какой-либо
строки(столбца) на их алгебраические
дополнения.
где i=1,2,3.
Докажем
теорему для первой строки определителя,
так как для любой другой строки или
столбца можно провести аналогичные
рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к
элементам первой строки:
Тогда
Таким
образом, для вычисления определителя
достаточно найти алгебраические
дополнения к элементам какой-либо строки
или столбца и вычислить сумму их
произведений на соответствующие элементы
определителя.