5. Гидравлические потери при ламинарном течении. Закон Пуазейля
Уравнение (27) можно разрешить относительно гидравлических потерь.
(42)
Полученное выражение получило название закона Пуазейля. Оно позволяет вычислить гидравлические потери при ламинарном течении жидкости или газа внутри круглого трубопровода (воздуховода).
Разделив
обе части уравнения (42) на
,
выразим гидравлические потери в метрах
столба рабочей жидкости:
(43)
Перейдём
в уравнении (43) от радиуса
к диаметру
и используем соотношение коэффициента
динамической вязкости
и коэффициента кинематической вязкости
(
)
:
(44)
Перейдём в уравнении (44) от расхода к средней скорости и перегруппируем сомножители в правой части уравнения:
(45)
Уравнение (45) является частным случаем уравнения Вейсбаха-Дарси, в котором коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода для ламинарного режима равен
(46)
6. Турбулентное течение. Кинематика турбулентного потока
Турбулентным течением (или турбулентным режимом течения) называют течение жидкости или газа с интенсивным перемешиванием жидкости, с пульсацией скоростей и давлений. Турбулентный режим напорного (вынужденного) течения в трубопроводах наступает при числах Рейнольдса, превышающих критическое число Рейнольдса. Для круглых трубопроводов критическое число Рейнольдса равно 2300. Однако, правильнее сказать, что начиная с критического числа Рейнольдса, ламинарный режим течения начинает терять устойчивость: то там, то здесь в потоке возникают завихрения, которые могут развиваться и далее, либо исчезать. Чем больше число Рейнольдса превышает критическое значение, тем больше и чаще нарушается спокойное ламинарное течение. Такое неустойчивое течение наблюдается при числах Рейнольдса от 2300 до 4000. Эти границы, конечно, не строги. И всё же можно с уверенностью считать, что при числах Рейнольдса свыше 10 000 мы можем наблюдать только развитый турбулентный режим.
Турбулентный режим по своей сути, со всей очевидностью, является неустановившимся течением: в любой точке пространства непрерывно изменяется и направление, и величина скорости и давление. И всё-таки в инженерной практике нашёл применение парадоксальный термин «установившийся турбулентный режим». Чтобы почувствовать физическую сущность этого термина, понаблюдайте некоторое время за какой-нибудь гидравлической системой, внешние воздействия на которую не меняются в течение Вашего наблюдения. Например, это может быть работа системы полива, или водопад, или горная речка с водяной мельницей, или работа системы отопления, работа ветряка на берегу моря и т.д. За время Вашего наблюдения поток жидкости характеризуется локальной нестабильностью, шум потока отражает завихрения и перемешивание жидкости, столкновение струек друг с другом и со стенками трубопровода, летят брызги и т.д. и т.п. Но в целом всё одинаково: и расход жидкости, и средняя скорость, и показания манометров, и потребляемая насосами мощность, и развиваемая гидравлической турбиной или ветряком мощность. Опыт показывает, что если внешнее воздействие на турбулентный поток жидкости остаётся неизменным, то осреднённый во времени турбулентный поток можно считать установившимся, так как осреднённые во времени величины скоростей и давлений в каждой точке остаются неизменными.
Итак, модель турбулентного течения, полученная усреднением по времени локальных параметров (скоростей и давлений) является установившимся течением.
Другими особенностями турбулентного течения являются:
- траекториями частиц являются сложные пространственные кривые,
- эпюра скоростей имеет более выровненный характер,
- касательные напряжения имеют более сложную природу, чем при ламинарном течении:
(47)
Швейцарский инженер-гидравлик Андерсен обработал большое количество экспериментальных данных по кинематике турбулентного потока в круглых трубах и получил аппроксимационную зависимость вида:
(48)
где
(49)
Вычислим среднюю скорость турбулентного потока:
(50)
Н
а
рисунке показано распределение скорости
в круглом трубопроводе при одном и том
же расходе жидкости (средняя скорость
для всех потоков одинакова).
Красным цветом выделено параболическое распределение скорости при ламинарном течении.
Остальные кривые соответствуют турбулентным течениям с разными числами Рейнольдса : 2300, 10000, 100000 и 1000000.
Чем выше число Рейнольдс, тем более пологой является кривая распределения скорости.
График построен мной в Mathcad по формулам (48,49).
Вычислим теперь коэффициент Кориолиса для турбулентного течения при условии справедливости формулы Андерсена. Используем уравнение (40), (48) и (50)
(51)
Выполните интегрирование, подставьте пределы интегрирования и получите следующую формулу для коэффициента Кориолиса:
(52)
Некоторые численные значения коэффициента Кориолиса для турбулентного течения приведены в таблице:
Re |
2300 |
10 000 |
100 000 |
1 000 000 |
10 000 000 |
100 000 000 |
|
1,196 |
1,15 |
1,094 |
1,055 |
1,031 |
1,017 |
Мы видим, что при больших числах Рейнольдса коэффициент Кориолис можно приближённо принимать равным 1.
Конец лекции № 8