Лекция № 8. Динамика вязкой жидкости.

Ламинарный (на переднем плане) и турбулентный режимы течения при движении подводной лодки.

План лекции.

1. Уравнение Бернулли для реальной жидкости, коэффициенты Буссинеска и Кориолиса

2. Местные гидравлические потери. Теорема Борда

3. Потери на трение по длине трубопровода

4. Кинематика ламинарного потока

5. Гидравлические потери при ламинарном течении. Закон Пуазейля

6. Турбулентное течение. Кинематика турбулентного потока

1. Уравнение Бернулли для реальной жидкости, коэффициенты Буссинеска и Кориолиса

Уравнение Бернулли (52) в конспекте лекции № 6 справедливо для условий теоремы Бернулли для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости.

Оно выполняется вдоль траектории , причём, значения скорости, давления и координаты в этом уравнении должны относиться только к одной и той же траектории. Для разных траекторий, проходящих через поперечное сечение потока, например, через поперечное сечение трубопровода, трёхчлен Бернулли может принимать разные значения для разных точек в одном и том же сечении трубопровода.

В практических задачах применение уравнения Бернулли для траектории идеальной жидкости не представляет интереса по ряду причин.

1) Первая и главная причина – реальные жидкости обладают вязкостью, которая обусловливает появление при движении жидкости внутреннего трения и перехода части энергии жидкости в тепловую энергию. Следовательно, в действительности, в отличие от теоремы Бернулли, полная механическая энергия реальной, вязкой жидкости не остаётся постоянной при её движении, а уменьшается. В гидравлике это уменьшение полной механической энергии вследствие трения жидкости получило название гидравлических потерь. Можно было бы перефразировать теорему Бернулли для реальной жидкости примерно в таком виде:

полная механическая энергия жидкости на входе в трубопровод равна полной механической энергии на выходе из него плюс гидравлические потери на участке трубопровода между входом и выходом.

Формально «подправить» уравнение Бернулли не сложно: достаточно добавить в правую часть уравнения ещё одно слагаемое – гидравлические потери . Однако, создать методику вычисления этих потерь – задача чрезвычайно ответственная, сложная и трудоёмкая.

2) Вторая трудность применения уравнения Бернулли, полученного для элементарной трубки тока идеальной жидкости, заключается в том, что в инженерной практике очень часто удобнее использовать не распределение скорости по поперечному сечению трубопровода, не действительные скорости в каждой точке, а среднюю скорость потока в трубопроводе. Средняя скорость определяется просто и понятно: средняя скорость равна частному от деления объёмного расхода на площадь поперечного сечения трубопровода:

(1)

При этом полезно помнить, что объёмный расход жидкости через поперечное сечение трубопровода может быть вычислен интегрированием:

(2)

Однако, простая подмена действительной скорости в уравнении Бернулли на среднюю скорость потока не корректна, ибо действительная кинетическая энергия жидкости может существенно отличаться от кинетической энергии жидкости, вычисленной по средней скорости.

Следовательно, при переходе к средней скорости придётся ввести в уравнение Бернулли поправочный коэффициент. Этот коэффициент был назван коэффициентом Кориолиса. Конкретные его значения пришлось определять в ходе трудоёмких экспериментов, и лишь в одном частном случае коэффициент Кориолиса удалось вычислить аналитически.

Лемма о трёх интегралах.

а) Первый интеграл связан с понятием средней скорости. Действительная скорость и средняя скорость отличаются на величину отклонения :

(3)

где есть величина постоянная для данного сечения, а и могут быть различными для разных точек одного сечения.

Преобразуем уравнение (2):

Учитывая уравнение (1) ( ), получаем:

(4)

б) Второй интеграл связан с количеством движения.

Действительное количество движения массы жидкости, прошедшей за промежуток времени через поперечное сечение , может получено интегрированием по всему поперечному сечению следующего выражения:

(5)

Среднее слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение можно интерпретировать как количество движения, вычисленное по средней скорости. Продолжим упрощение выражения (5):

(6)

Здесь приняты следующие обозначения:

- количество движения, вычисленное по средней скорости (7)

(8)

- коэффициент Буссинеска (9)

в) Третий интеграл связан с понятием кинетической энергии жидкости. Кинетическая энергия массы жидкости , прошедшей через сечение за промежуток времени равна:

(10)

Продолжим упрощение выражения (10):

(11)

Второе слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение можно интерпретировать как кинетическую энергию жидкости, вычисленную по средней скорости. Продолжим упрощение выражения (11), :

(12)

В выражении (12) было отброшено слагаемое как малая величина ( ) и введены обозначения:

- кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости (13)

- коэффициент Кориолиса (14)

Очевиден физический смысл коэффициента Кориолиса: он выражает отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости.

Докажите самостоятельно, что между коэффициентами Буссинеска и Кориолиса существует следующая зависимость:

(15)

3) Третья проблема перехода от уравнения Бернулли, полученного для траектории, к уравнению, справедливому для всего поперечного сечения потока, заключается в том, что для разных точек поперечного сечения координата (геометрический напор) и (пьезометрическая высота) принимают различные значения. Если, однако, мы применяем уравнение Бернулли к расчёту трубопровода конечных размеров и выбираем сечения на участках, где движение жидкости близко к равномерному, параллельно струйному течению ( ), то по всему поперечному сечению трубопровода (16)

Итак, уравнение Бернулли можно применять к движению реальной вязкой жидкости в трубопроводах конечных размеров, в том числе, и в открытых каналах, выбирая сечения на плавно меняющихся участках, внутри которых течение жидкости можно считать, близким к равномерному течению, в следующей редакции (здесь символами и обозначены средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2):

(17)

В уравнении (17) значения и следует брать с учётом уравнения (16) в любой точке сечения, но обязательно в одной и той же.