2. Уравнение Эйлера для покоящейся жидкости.

Мы переходим к большому и важному разделу «Гидростатика». Для покоящейся жидкости (газа) уравнения, которые мы получили, чрезвычайно упрощаются. Анализ этих уравнений для случая, когда скорость равна нулю, даёт впечатляющие результаты. Заметим, что до сих пор мы не использовали ни одного экспериментального факта, и не рассматривали свойств конкретной жидкости или газа.

Вспомним, что мы ограничились рассмотрением только ньютоновских жидкостей. В таких жидкостях касательные напряжения прямо пропорциональны скоростям угловых деформаций, или градиенту скорости. В покоящейся текучей ньютоновской жидкости скорости, а, следовательно, и угловые деформации и градиенты скорости равны нулю. Следовательно, равны нулю и пропорциональные им величины – касательные напряжения:

(15)

В силу этого обстоятельства уравнение (29) лекции № 2

примет следующий вид:

(16)

С другой стороны проекция вектора напряжения на ось 0х может быть вычислена и другим путём:

(17)

Следовательно,

и (18)

Аналогичными рассуждениями, используя уравнения (15), можно получить:

и (19)

и (20)

Отсюда следует закон, открытый Блезом Паскалем в XVII веке:

Три нормальных напряжения, приложенные к трём взаимно перпендикулярным площадкам, произвольно ориентированным в пространстве, равны по величине.

Значение нормальных напряжений в конкретной точке покоящейся жидкости, взятое со знаком минус, называют гидростатическим давлением в этой точке (или просто давлением) и обозначают буквой :

(21)

(22)

Знак минус подчёркивает, что нормальное напряжение направлено внутрь объёма жидкости, в сторону, прямо противоположную внешней нормали:

Гидростатическое давление является скалярной функцией трёх переменных – координат: , измеряется в Па (Н/м²).

Тензор напряжения покоящейся жидкости принимает вид:

(23)

Перейдём к выводу дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости. Для этого воспользуемся уравнением (8) и следующими значениями векторов в покоящейся жидкости:

(24)

После подстановки получаем дифференциальное уравнение Эйлера для покоящейся жидкости:

(25)

(26)

(27)

Векторная форма этих уравнений:

(28)

3. Основное уравнение гидростатики, поверхности постоянного давления

О сновным уравнением гидростатики называют закон распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости на планете Земля. Получим основное уравнение гидростатики из дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости.

Для этого рассмотрим равновесие жидкости в гравитационном поле Земли. Поместим начало координат в центр тяготения Земли и рассмотрим точку в покоящейся жидкости на поверхности Земли. Сила тяготения действует по радиусу по направлению к центру тяготения, проекции массовой силы на оси координат равны:

(29)

(30)

(31)

В этих формулах буквой g обозначено ускорение свободного падения, придаваемое телу в вакууме силой тяжести, то есть геометрической суммой гравитационного притяжения планеты и инерциальных сил, вызванных её вращением. Значение ускорения свободного падения для Земли обычно принимают в технических расчетах равным g = 9,81 м/с² (примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря). Реальное ускорение свободного падения на поверхности Земли зависит от широты, времени суток и других факторов. Оно варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Для МГТУ оно равно 9.815 м/с².

Уравнения Эйлера примут вид:

(32)

(33)

(34)

Введём замену переменных и вычислим частные производные в уравнениях (32-34):

(35)

(36)

(37)

После подстановки получаем три одинаковых обыкновенных дифференциальных уравнения, которые интегрируем при следующих граничных условиях:

при (38)

После интегрирования и определения постоянной интегрирования получаем:

(39)

(40)

(41)

Уравнение (41) и есть основное уравнение гидростатики. Оно справедливо и для жидкости, и для газа, например, воздушного пространства, если плотность среды (жидкости или газа) можно считать постоянной величиной. Очень часто удобно и допустимо заменять разность радиусов разностью координат по вертикали . В этих случаях основное уравнение гидростатики применяется в виде:

(42)

Свободной поверхностью жидкости называют поверхность раздела между жидкостью и газовой средой, например, между водой в сосуде или в море и атмосферным воздухом. Докажите самостоятельно, что разность давлений в точках и , лежащих под свободной поверхностью на различной глубине, можно вычислить по формуле:

(43)

Умножим три уравнения Эйлера (25,26,27) соответственно на и сложим:

(44)

В правой части уравнения (44) стоит выражение полного дифференциала от гидростатического давления:

(45)

Выражение (45) называют Пфаффовой формой уравнений гидростатики. С его помощью удобно отыскать поверхности постоянного давления – изобары.

Действительно, вдоль поверхности постоянного давления и уравнение (45) принимает вид:

(46)

Равенство (46) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: вектора результирующей массовой силы и вектора перемещений, лежащего в касательной плоскости к поверхности постоянного давления в данной точке . Равенство скалярного произведения двух векторов нулю означает, что эти векторы ортогональны. Следовательно,