Надійний інтервал для центра розподілу при невідомому s

В практичній діяльності при проведені дослідів нам невідомо як М_Х так і s². Вони оцінюються по малим статистичним рядам (вибіркам). Тоді від випадкової величини переходять до другої випадкової величини t, що є функцією значень х₁, х₂,...,х_п, закон розподілу якої не залежить від невідомих параметрів величини Х, а залежить тільки від кількості дослідів п і від виду закону розподілу випадкової величини Х. Як показано в § 2.7 при нормальному розподілу величин Х випадкова величина t підкоряється закону розподілу Стьюдента з п-1 степенями вільності (додаток 3).

Тоді стандартом математичного сподівання буде середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного М (формула 4.57).

Формула (4.58) прийме вигляд

. (4.61)

Надійний інтервал для параметра а = М_Х при невідомих і D_X знаходиться по формулі

. (4.62)

Згідно розподілу Стьюдента

, (4.63)

де b - ймовірність появи випадкової величини від 0 до tb .

В таблиці розподілу Стьюдента (додаток 3) по надійної ймовірності b і числу ступенів вільності п-1 находять величину tb.

Відповідно з інтервалом (4.61) можна побудувати надійний інтервал для любого значення із вибірки х₁, х₂,...,х_п за формулою

. (4.64)

Надійний інтервал для s

Виходять з того, що вибірка отримана із нормальної сукупності. При цьому величина розподілена по закону розподілу c² (§ 2.6) з (п-1) ступенями вільності. Слід відмітити, що для надійної ймовірності b можна побудувати інтервал нескінченним числом способів. Проте краще вибрати такі межі і , щоб

;

і .

Тоді

. (4.65)

Це свідчить про те, що

. (4.66)

Таким чином надійний інтервал для s буде

g ₁m , (4.67)

де і . (4.68)

При невеликій кількості випробувань

і . (4.69)

Величини і вибирають із таблиць розподілу (додаток 4) з числом ступенів вільності п або (п-1) відповідно для ймовірності і р₂ = 1 – р₁.

По аналогії з інтервалом (4.67) можна побудувати надійний інтервал для середнього квадратичного відхилення простої арифметичної середини. Враховуючи формулу (4.57) отримаємо

. (4.70)

Приклад. Проведено експериментальні випробування світловіддалеміра на польовому компараторі з довжиною еталонної лінії l = 120,000м. Точність приладу характеризується дисперсією m² = 5 мм. Випробування проводяться серійно по 10 вимірів в кожному. Визначити інтервали математичного сподівання для кожної вибірки (серії вимірів) та стандартів s і при надійності ймовірності р= 0,95.

Розв’язання. Так як в кожній серії проводиться по п=10 вимірів, то стандарт математичного очікування по формулі (4.56) буде

мм.

По таблицям функції Лапласа (додаток 1) для f = f(t) = 0,95/2 = 0,475 визначаємо t = 2,0. Тоді по формулі (4.59) при = 120,000 м маємо

120,000 – 2,0× 0,0007 120,000 + 2,0 × 0,0007, або

119,9986 120,0014.