§ 4.5 Оцінка параметрів розподілу за допомогою надійних інтервалів

В § 4.4 розглянули точковий спосіб визначення точкових оцінок. Проте більш досконалим є спосіб надійних інтервалів. Справа полягає в тому, що точкова оцінка без вказаної ступені точності і надійності мало що визначає, тому що отримані величини оцінок становлять лиш часткові значення деяких випадкових величин.

Щоб мати досить точну і надійну оцінку а* параметра а треба дотриматись умови

Р(|a* - a| < x ) = P (-x < |a* - a| < x ) = P (a* - x < a < a* + x ) = 1 – б, (4.52)

де б досить мала величина.

Співвідношення (4.52) показує ймовірність того, що невідомий параметр а буде знаходитись в межах інтервалу ( а* - x, а* + x), дорівнює 1 – б = Р. Такий інтервал і називають надійним інтервалом.

Треба зазначити, що чим менше буде x, тим точніше буде оцінка а* параметра а.

Графічно надійний інтервал для параметра а можна показати на рис.4.5.

Рис.4.5

Припустимо, що параметром а буде математичне сподівання випадкової величини Х.

Емпіричне середнє арифметичне значення випадкової величини Х: (х₁, х₂, ..., х_п) визначається за формулою (4.23) і є випадковою величиною, якщо її обчислювати по різним серіям вимірів (по вибірках) при проведенні дослідів. Таким чином із серійних середніх арифметичних також формується статистичний ряд. Причому всі вони з деяким рівнем ймовірності р = b будуть належати інтервалу

а* - x < a = M_X < a* + x . (4.53)

Визначимо математичне сподівання та дисперсію випадкової величини , або параметра а. Відповідно за формулою (3.48) маємо

= (4.54)

Це означає, що математичне сподівання випадкової величини Х залежить від числа п вимірів і дорівнює математичному очікуванню М_Х = а випадкової величини Х.

Дисперсія середнього арифметичного відповідно за формулою (3.59) буде

= , або . (4.55)

Із формули (4.55) маємо висновок, що дисперсія математичного сподівання (емпіричного середнього арифметичного) залежить від параметра s та числа вимірів п.

Величину називають стандартом математичного сподівання середнього арифметичного

. (4.56)

Якщо дисперсію m² обчислюють по статистичному ряду чи статистичній сукупності (формули 4.22 і 4.28), то емпіричне значення стандарту середнього арифметичного називають середнім квадратичним відхиленням арифметичної середини, або

. (4.57)

Довірительний інтервал для центра розподілення при відомому s

Припустимо, що ми маємо нормально розподілену випадкову величину Х з відомими параметрами а₁ = М_Х і а₂ = s². Для оцінки параметра а₁ = М_Х = а використаємо характеристику , яка теж розподілена нормально. Очевидно по багатьом вибіркам величини будуть дещо відхилятися від величини а = М_Х. Закон розподілу величини можна визначити через функцію Лапласа (§2.4). Тоді нормовані відхилення середніх арифметичних вибірок від параметра а = М_Х визначимо за формулою (2.46) і отримаємо

. (4.58)

Розв’яжемо рівняння (4.53) відносно а і отримаємо надійний інтервал для математичного сподівання або параметра а

. (4.59)

В порівнянні з формулою (4.53) видно, що формула (4.59) і буде шуканим інтервалом, де знаходиться середнє арифметичне, причому x = |t |. Так як величина t підкоряється нормованому нормальному закону розподілу і згідно функції Лапласа

, (4.60)

то її находять зворотним інтерполюванням із таблиць Лапласа (додаток 1).