11.5.1.3 Наближений метод Фогеля (нмф)

Цей метод є евристичним і зазвичай приводить до кращого початкового розв’язку, ніж два описаних вище. Насправді НМФ часто дає оптимальний або близький до оптимального початковий розв’язок. Алгоритм складається з наступних кроків.

Крок 1. Обчислити штраф для кожного рядка (стовпця), віднімаючи найменший елемент цього рядка (стовпця) з наступного за ним по величині елементу того ж рядка (стовпця).

Крок 2. Вибрати рядок або стовпець з найбільшим штрафом, а якщо таких декілька, вибрати серед них будь-який рядок або будь-який стовпець. У відміченому рядку або стовпці вибрати змінну з найнижчою вартістю і надати їй найбільше можливе значення. Скоректувати обсяг виробництва і попит і викреслити рядок або стовпець, відповідні виконаному обмеженню. Якщо обмеження по рядку або стовпцю виконуються одночасно, то викреслити або рядок, або стовпець, а стовпцю (рядку), що залишився, приписати нульовий попит (обсяг виробництва). Рядок (або стовпець) з нульовим обсягом виробництва (або попиту) не враховуються в подальших обчисленнях (на кроці 3).

Крок 3.

(А) Якщо невикресленим залишається тільки один рядок і тільки один стовпець (одна клітина) – надати відповідній змінній значення попиту (=обсягу виробництва), закінчити обчислення.

(Б) Якщо залишається невикресленим тільки один рядок (стовпець) з ненульовим обсягом виробництва (попитом), знайти базисні змінні в цьому рядку (стовпці), використовуючи метод найменшої вартості.

(В) Якщо всім невикресленим рядкам і стовпцям відповідають нульові обсяги виробництва і величини попиту, знайти нульові базисні змінні, використовуючи метод найменшої вартості.

(Г) У інших випадках обчислити нові значення штрафів для невикреслених рядків і стовпців і перейти до кроку 2. (Відзначимо, що рядки і стовпці з нульовими значеннями обсягу виробництва і попиту не повинні використовуватися при обчисленні цих штрафів).

Приклад розв'язку задачі НМФ.

Розглянемо ТЗЛП, для якої знайдемо ДБР НМФ.

Ітерація 0 (Умова)

	11		3		6		9	15	3
	9		10		12		2	25	7
	10		7		1		6	5	5
	7		11		3		23	10	4
15		10		15		15
2		4		2		4			Штраф

Ітерація 1

	11		3		6		9	15	3
	9		10		12		2	25 10	1
						15
	10		7		1		6	5	6
	7		11		3		23	10	4
15		10		15		15 --
2		4		2		-			Штрафи

Ітерація 2

	11		3		6		9	15	3
	9		10		12		2	25 10	1
						15
	10		7		1		6	5 --	--
				5
	7		11		3		23	10	4
15		10		15 10		15 --
2		7		3		--			Штрафи

Ітерація 3

	11		3		6		9	15 5	5
		10
	9		10		12		2	25 10	3
						15
	10		7		1		6	5 --	--
				5
	7		11		3		23	10	4
15		10 --		15 10		15 --
2		--		3		--			Штрафи

Ітерація 4

	11		3		6		9	15 5 --	--
		10		5
	9		10		12		2	25 10	3
						15
	10		7		1		6	5 --	--
				5
	7		11		3		23	10	4
15		10 --		15 10 5		15 --
2		--		9		--			Штрафи

Ітерація 5

	11		3		6		9	15 5 --	-
		10		5
	9		10		12		2	25 10	-
						15
	10		7		1		6	5 --	-
				5
	7		11		3		23	10 5	-
				5
15		10 --		15 10 5 --		15 --
2		-		-		-			Штрафи

Ітерація 6

Залишається невикресленим тільки один стовпець з ненульовим попитом, знайдемо базисні змінні в цьому стовпці, використовуючи метод найменшої вартості.

	11		3		6		9	15 5 --
		10		5
	9		10		12		2	25 10
				5		15
	10		7		1		6	5 --
				5
	7		11		3		23	10 5 --
5				5
15 10		10 --		15 10 5 --		15 --

Ітерація 7

Невикресленим залишається тільки одна клітина – надамо відповідній змінній значення попиту (=обсягу виробництва), та закінчимо обчислення.

	11		3		6		9	15 5 --
		10		5
	9		10		12		2	25 10 5 --
10						15
	10		7		1		6	5 --
				5
	7		11		3		23	10 --
5				5
15 5 --		10 --		15 10 5 --		15 --