Транспортная задача

11.5 Метод потенціалів

Метод потенціалів - один з найчастіше використовуваних методів вирішення ТЗЛП. Цей метод є реалізацією симплекс-метода в умовах транспортної задачі.

Далі ТЗЛП

,	(1)
,	(2)
,	(3)
,	(4)

задаватимемо таблицею, яку будемо називати транспортною таблицею:

		...
		...
...	...	...	...	...
		...
		...

Кількість рядків таблиці дорівнює числу виробників (обмеженням (2)); кількість стовпців числу споживачів (обмеженням (3)); кожна клітка цієї таблиці відповідає певній парі виробник - споживач ; кожній парі відповідають вартість перевезення одиниці продукції і обсяг перевезень (кількість продукції) по даному маршруту , .

11.5.1 Методи побудови початкового дбр

Вирішення ЗЛП симплекс-методом починається з деякого допустимого базисного розв’язку (ДБР). У методі потенціалів використовуються наступні способи знаходження початкового ДБР:

- метод північно-західного кута;

- метод найменшої вартості;

- метод Фогеля.

11.5.1.1 Метод північно-західного кута

Крок 1. Надаємо змінній (розташованій в північно-західному куті транспортної таблиці) максимальне значення, що допускається обмеженнями на попит і обсяг виробництва:

Крок 2.

Якщо , то виробник 1 повністю використовував свої можливості і далі його можна не враховувати (тобто перше обмеження системи (2) виконане і при встановленні решти перевезень його можна не враховувати), а потреба 1-го споживача тепер буде рівна: ;

Якщо то 1-й споживач повністю задовольнив свою потребу в продукції (тобто перше обмеження системи (3) виконане) і його можна далі не враховувати, а виробник 1 тепер має в своєму розпорядженні лише одиниць продукції;

Якщо то з розгляду можна виключити і споживача, і виробника. В цьому випадку виключається ("вибуває з гри") тільки один з них: або виробник, або споживач, а споживачеві (виробникові), що залишився, приписується нульовий попит (обсяг виробництва).

Крок 3. Після встановлення об'єму перевезень по маршруту (1,1) ми маємо справу з новою задачею, в якій сумарне число виробників і споживачів на 1 менше, ніж в початковій. У північно-західну клітину таблиці нової задачі, отриманої уявним викреслюванням першого стовпця або першого рядка старої таблиці, знову поміщаємо максимально можливий обсяг перевезень ( він може опинитися і нульовим).

Продовжуючи цей процес, прийдемо до допустимого розв’язку задачі, оскільки

Приклад

Для наступної ТЗЛП

	1	2	3	4	5
1						10
2						25
3						20
4						30
5						20
	18	10	15	35	17	95

побудуємо розв’язок методом північно-західного кута.

Ітерація 1

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2						25
3						20
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8

Ітерація 2

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8					25	17
3						20
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8
	--

Ітерація 3

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10				25	17	7
3						20
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--
	--

Ітерація 4

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3						20
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--	8
	--

Ітерація 5

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3			8			20	12
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--	8
	--		--

Ітерація 6

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3			8	12		20	12	--
4						30
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--	8	23
	--		--

Ітерація 7

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3			8	12		20	12	--
4				23		30	7
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--	8	23
	--		--	--

Ітерація 8

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3			8	12		20	12	--
4				23	7	30	7	--
5						20
	18	10	15	35	27
	8	--	8	23	20
	--		--	--

Ітерація 9

	1	2	3	4	5
1	10					10	--
2	8	10	7			25	17	7	--
3			8	12		20	12	--
4				23	7	30	7	--
5					20	20	--
	18	10	15	35	27
	8	--	8	23	20
	--		--	--	--

Відповідь

В результаті застосування методу було заповнено 9 клітин транспортної таблиці. Отже, розв’язок, отриманий методом північно-західного кута: інші

Покажемо, що метод північно-західного кута завжди приводить до ДБР ( і, отже, починаючи з нього, можна далі використовувати для знаходження оптимального розв’язку симплекс-метод)

Теорема 5. Метод північно-західного кута завжди приводить до ДБР.

Доведення

Розв’язок допустимий - якщо задовольняє всім обмеженням, базисний - якщо число базисних змінних рівне і вони відповідають незалежним стовпцям початкової матриці обмежень.

Допустимість забезпечується в процесі побудови розв’язку. Покажемо, що отримуваний розв’язок – базисний. Для цього нам потрібно довести, що

(А) вектори , що відповідають всім заповненим в процесі побудови допустимого розв’язку клітинам, включаючи і клітини, в яких вписані нулі, лінійно-незалежні і

(Б) їх кількість рівна (рангу матриці ).

Спочатку доведемо твердження (Б).

(Б) Спочатку сумарне число виробників і споживачів складає . На кожному кроці методу число виробників і споживачів, що залишилося, зменшується тільки на 1. Коли ми дійдемо до суми, рівної 2, буде заповнено клітин. Це означає, що залишився тільки один виробник і тільки один споживач, тобто остання таблиця складається лише з однієї клітини, яку ми і заповнюємо на останньому кроці. Таким чином, слідуючи методу північно-західного кута, ми завжди заповнюємо рівно клітку.

Тепер доведемо твердження (А).

Стовпець коефіцієнтів при має вигляд:

Про ДБР задачі можна говорити тільки тоді, якщо всі її обмеження - рівняння лінійно-незалежні. Тому виключимо з розгляду одне з рівнянь, наприклад, перше. Це відповідає тому, що у всіх даних векторів ми відкинемо першу координату. Отримані вектори позначимо через .

Представимо схематично всі можливі варіанти послідовного заповнення клітин по методу північно-західного кута (рисунок 2).

Рисунок 2

У кожному з цих варіантів при переході до наступної змінної один з індексів зберігається, а інший збільшується на 1. Це обставина і дозволить нам довести, що відповідний будь-якому з можливих варіантів набір векторів лінійно незалежний. Оскільки всі варіанти в цьому сенсі рівноцінні, доведення приведемо тільки для одного з них, наприклад, самого північно-східного в нашій схемі. Цьому варіанту відповідає наступний набір векторів:

,

а відповідна транспортна таблиця має вигляд:

		…
				...

Набор відповідних цим клітинам векторів складається вектора. Вектори ( )-вимірні. Тому матриця, складена з них, квадратна. У нашому випадку вона має вигляд:

Визначник цієї матриці дорівнює , звідси слідує незалежність її стовпців. ▄

При побудові початкового ДБР методом північно-західного кута ніяк не враховуються питомі витрати на перевезення продукції . Інтуїція підказує, що чим більше в початковому ДБР "дешевих" перевезень, тим ближче цей розв’язок до оптимального. Методи побудови початкового ДБР, такі як метод найменшої вартості і наближений алгоритм Фогеля враховують значення і зазвичай дають краще, ніж метод північно-західного кута, початковий розв’язок.