5.3.2. Выбор переменной, выводимой из базиса
Специфика ТЗ позволяет находить новый базис по более простому правилу, чем в общем случае.
рассмотрим, как в методе потенциалов с учетом специфики задачи осуществляется поиск выводимой из базиса переменной.
-
x
x
x
x
x
x
Для любой клетки
(соответствующей небазисной переменной)
всегда существует компенсаторная
цепочка клеток, заканчивающаяся на
клетке
,
и при том единственная.
Покажем это. (Следующая теорема и ее
следствия доказывают это).
ТЕОРЕМА 8.
Совокупность
векторов
, (i,j)R
( R
- некоторое множество пар индексов)
будет линейно-зависимой тогда и только
тогда, когда из множества соответствующих
им клеток транспортной таблицы
можно выбрать часть, образующую цикл.
Доказательство.
Покажем что из линейной зависимости следует существование цикла.
Пусть совокупность векторов
линейно зависимая. Тогда справедливо
равенство:
(9)
где по крайней мере один из коэффициентов
отличен от 0.
Пусть для определенности
0
и соответствующий вектор
имеет индексы
. У вектора
i1-я
координата равна 1.
Поэтому в равенство (9)
должен входить по крайней мере еще один
вектор с отличной от нуля i1-й
координатой ( чтобы в сумме образовать
нуль-вектор). Пусть это будет вектор
.
Но этот же вектор будет иметь также
равную единице (m
+
)-ю
координату. Следовательно, по той же
причине в равенство (14) должен входить
еще один вектор с такой же единичной
координатой. Пусть это будет вектор
.
Тогда, аналогично заключается,
что в равенство войдет вектор
и т.д.
В выбираемой таким образом цепочке
векторов должен найтись вектор
,
у которого второй индекс совпадает со
вторым индексом первого вектора. В
противном случае, в равенстве (9)
нельзя будет анулировать равную единице
координату (m
+
)
вектора
.
Таким образом, выбранная цепочка векторов должна иметь вид:
, , , ....... , где индексы (i,j) R R.
Этой совокупности векторов сооветствует совокупность клеток:
,
,
(
....
,
образующих цикл.
Покажем теперь, что из наличия цикла следует линейная зависимость соответствующих векторов.
Пусть из соответствующих векторам
,
(i,j)
R клеток
(i,j)
выбрана часть:
,
,
....
,
образующая цикл.
Тогда справедливо следующее равенство:
-
+
-....-
=
0
откуда следует линейная зависимость рассматриваемых векторов .
Из теоремы 8 получаем два следующих следствия:
Следствие 8.1.
Допустимое решение ТЗ является базисным тогда и только тогда, когда из занятых этим решением клеток нельзя образовать ни одного цикла
Доказательство следствия 8.1. (Самостоятельно №8).
Следствие 8.2.
Если таблица транспортной задачи содержит базисное решение задачи (1)-(3), то для каждой свободной клетки этой таблицы можно образовать и при том только один цикл, содержащий данную клетку и некоторую часть занятых клеток.
Доказательство следствия 8.2.
Добавим к m+n-1 занятым клеткам свободную клетку , для которой нужно образовать цикл. Тогда согласно теореме 2 о ранге матрицы Р, соответствующая этим клеткам совокупность из (m+n) векторов линейно-зависима.
На основании теоремы 8 из данных клеток можно образовать цикл. Этот цикл обязательно будет включать свободную клетку ( иначе - возможен цикл среди оставшихся клеток, что невозможно, так как соответствующие им вектора линейно независимы). Допустим теперь, что таких циклов можно построить два:
.....................
....................
Тогда объединенная совокупность клеток обоих циклов без свободной клетки также будет образовывать цикл: ……. …..... , что противоречит следствию 8.1.
Вернемся к процедуре нахождения выводимой из базиса переменной.
Пусть имеем некоторое
ДБР {
},
и пусть в качестве вводимой в базис
выбрана переменная
(ей соответствует клетка транспортной
таблицы
).
Согласно следствию 8.2
для небазисной переменной
всегда существует компенсаторный цикл
клеток, замыкающийся на клетке
и при том единственный. При этом переменной
придается некоторое значение
0.
Перемещение по циклу любого числа
не изменит балансовых равенств по
строкам и столбцам таблицы. И при этом
для компенсации изменения бывшей
небазисной переменной
некоторые базисные переменные
увеличиваются на ,
а некоторые - уменьшаются на .
Пометим знаком "+" клетки цикла,
соответствующие базисным клеткам
увеличивающимся на ,
а знаком "-" - уменьшающимся на .
Множество
пар индексов базисных переменных
соответственно разбивается на три
непересекающихся подмножества:
При произвольном выборе значения
некоторые переменные
в новом решении могут стать
отрицательными. Следовательно, чтобы
новое решение оставалось допустимым ,
должно выполняться:
(10)
число
должно не превышать значений
(
- обеспечивается допустимость)
а равенство в (10) обеспечивает базисность.
А теперь рассмотрим эту процедуру в модифицированном симплекс-методе.