Свойства разложения бинома Ньютона

1. Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени бинома.

2. Все члены разложения имеют одну и ту же степень n относительно первого и второго членов бинома, то есть разложение есть однородный многочлен, причем показатели первого члена убывают от n до 0, а второго возрастают от 0 до n.

3. Коэффициенты разложения следуют так: первый равен 1 = , а последующие соответственно равны , , , …, , то есть коэффициент (k+1)–го члена равен . Эти коэффициенты, называемые биноминальными, всегда натуральные числа, если показатель бинома натуральное число.

4. Общий член разложения вычисляется по формуле

5. Биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения, равны между собой, то есть

= , = , = , …, = .

6. Из свойств ( 1 ) и ( 5 ) следует, что если показатель бинома четный, то в разложении средний член имеет наибольший биноминальный коэффициент, а если нечетный – то имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

7. Сумма всех биноминальных коэффициентов равна , где n – показатель бинома.

Если в формуле ( 10 ) положить a = b = 1, то получим

= + + +…+ .

8. Сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Для вычисления биноминальных коэффициентов удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля, который выглядит так

Заметим, что треугольник Паскаля можно представить и в виде таблицы

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Основные формулы числа сочетаний

1. Условие симметрии

= .

2. Формулы сложения

а) =

б) + .

3. Вынесение за скобки

=

4. Формула суммирования

5. Обращение знака индекса

,

6. Упрощение произведения

7. Полиномиальная теорема

Примеры.

1. Доказать, что для каждого натурального числа n верно равенство

Решение. Используя формулу ( 11 ) для чисел a = -1, b = 1, получим

или

2. Исходя из свойств сочетаний вычислить сумму

и проверить справедливость полученного равенства при n= 4.

Решение. При каждом конечном n данная сумма имеет определенное значение, т.е. является функцией от n (n=1, 2, 3, …).

Ставится задача: найти выражение, зависящее от n, но не содержащее сочетаний и такого, чтобы при одних и тех же значениях n ( n = 1, 2, 3, … ) данная сумма и полученное выражение имели бы одно и то же числовое значение. В процессе преобразования суммы будет использована формула

( * )

Приступим к преобразованию данной суммы

Применим формулу ( 8 ) к каждому слагаемому суммы. Получим

Сократим каждое слагаемое на 1, 2, 3, … соответственно и вынесем за скобки n. Тогда последнее соотношение примет вид

Таким образом

Проверим справедливость полученного равенства при n = 4

Итак, 32 = 32.