5. Отображение множеств. Функции.
Соответствие
между множествами А и В называется
подмножество их декартова произведения
Иными словами, пары
задают соответствие между множествами
А={
}
и В={
},
если указано правило R,
по которому для элемента
множества А выбирается элемент
из множества В.
Если элементу
поставлен в соответствие некоторый
элемент
,
b называется образом
элемента а и записывается так: b=
R (a). Тогда
-
прообраз элемента
,
который обладает свойствами единственности
и полноты:
Каждому прообразу соответствует единственный образ;
Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.
Пример. Если А – множество парабол,
В – множество точек плоскости, а R
– соответствие “вершина параболы”,
то R (а) – точка, являющая
вершиной параболы a, а
состоит из всех парабол
с вершиной в точке b (рис.
6)
Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.
Прообраз множества В при некотором
соответствии R называют
областью определения этого
соответствия и обозначают
.
В свою очередь
является обратным соответствием
для R.
Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки
Рис. 6.
Рис. 7
М (х, у) у является образом, а х – прообразом
при некотором соответствии R:
У=R (x),
Соответствие между множествами Х,
удобно в виде точки на плоскости с
помощью метода декартовых координат.
Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.
Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.
Для задания отображения необходимо указать:
Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются
);Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается
);Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.
Обозначения:
.
Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный, графический (диаграммы или графы).
Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные.
Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В (сюръекция).
Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).
Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией.
График непрерывного бисктивного
отображения
показан
на рис. 8.
Рис. 8.
Если множество А отображается взаимно
– однозначно на множество В, т.е.
,
то отображение
,
при котором каждому элементу множества
В ставится в соответствие его прообраз
из множества А, называется обратным
отображением для
и записывается
.
Так как одному образу пи биекции
соответствует в точности один прообраз,
обратное отображение будет определено
всюду на В и однозначно.
Для биекции принята запись:
.
Таким образом, биекция – функция, являющаяся одновременно инъекцией и сюръекцией.