2. Основные операции над множествами

Объединением множеств , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

Для пояснения некоторых свойств операций над множествами и различных соотношений между множествами использования так называемые диаграммы Эйлера – Венна.

С помощью этой диаграммы операцию “объединение” можно представить в виде

Рис.1 Объединение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих одновременно А и В(рис. 2)

Рис. 2. Пересечение множеств

Разностью множеств А и В (порядок множеств существен!) называется множество А \ В, состоящее из элементов множества А не принадлежащих множеству В (рис. 3)

Рис. 3. Разность множеств А\ В

Например, если А={4,5,6,7,8}, В={5,8,9}, то А \ В={4.6.7}, а В / А={9}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А В=(А \ В) (В \ А), состоящее из элементов, принадлежащих одному из множеств А или В, не являющихся общими (рис. 4).

Рис. 4. Симметрическая разность множеств А В

Рассмотренные операции являются двухместными (бинарными). Имеется одноместная (унарная) операция дополнения.

Дополнением множества А является множество , содержащее элементы универсума , не включенные в множество А (рис.5)

= \ А

Рис. 5. Дополнение множества А до

Например, если А={2.3}, а ={1,2,3,4,5,6}, то ={1,4,5,6}.

Используя рассмотренные операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется, затем пересечения и только потом – операция объединения (разности). Для изменения порядка выполнения операций в выражении используют скобки.

3. Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел.

Законы, справедливые для любых множеств А, В и С.

1. А - сочетательный закон (ассоциативность) для операций объединения и пересечения.

2. А - переместительный закон (коммутативность) для операций объединения и пересечения.

Это свойство справедливо для любого конечного числа множеств, т.е. можно воспользоваться следующей формой записи

3. А ,

А - распределительный закон (дистрибутивность) объединение относительно пересечения множеств и пересечения относительно объединения множеств.

4. А - законы идемпотентности

5. - законы поглощения

6. - законы де Моргана

7. Законы нуля и единицы: пусть , 1 = U, тогда

8. Закон двойного отрицания

Рассмотренные тождества принято называть булевыми – по имени Д. Буля (1815 - 1864), впервые их доказавшего.

4. Декартово произведение множеств

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Декартовым произведением двух множеств А и В есть множество вида .

Здесь круглыми скобками ( ) обозначается последовательность, т.е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов (упорядоченное множество). Другое название такой последовательности – вектор, кортеж.

Таким образом - множество упорядоченных пар. В частности, если А = В, то обе координаты принадлежат одному множеству

Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определяется декартово произведение n множеств

Для множеств А, В, С, D выполняются следующие соотношения:

Декартово произведение множеств некоммутативно и неассоциативно.