8. Рекомендуемая литература

1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра: М.: Мир, 1976. – 400с.

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971. - 320с.

3. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики. М.: Форум – ИНФРА – М, 2004. – 128с.

4. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М. – Н.: ИНФРА – М; НГТУ, 2003. - 280с.

5. Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. М.: Издательский центр ”Академия”, 2006. – 368с.

6. Аляеев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. М.: Финансы и статистика, 2006. – 368с.

7. Лихтарников Л.М., Сукачеева Т.Г. Математическая логика. – СПб.: “Лань”, 1998. – 288с.

8. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий. – СПб.: БХВ - Петербург, 2005. – 416с.

Элементы теории множеств

Постоянное соприкосновение с различными совокупностями предметов привело к возникновению понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому – либо признаку или правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую – либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соответствий между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Например, множество, состоящее из десяти монет, и множество, состоящее из десяти карандашей, - это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, - это одно и то же множество.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т.е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств – немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Предметы, составляющие какое – либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет является элементом множества М, записывается в виде m M, и читается так: «m принадлежит M». Если же предмет а не принадлежит множеству М, то пишут: . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества. Иными словами, все элементы одного и того же множества отличны друг от друга.

Множество не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

есть пустое множество. Пустое множество принято обозначать символом .

Если для двух множеств А и В каждый элемент множества В является также элементом множества А, то говорят, что В входит в А, что В есть часть А, что В есть подмножество множества А или что В содержится в А. Это свойство записывается как операция включения

или

Например, множество В={1,2,3} есть часть множества А={1,2,3,4,5,6}.

Ясно, что всегда . Удобно сч20итать, что пустое множество есть часть любого множества.

Если и , то В называется строгим (собственным) подмножеством (обозначается ).

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е., если А=В, то и , в противном случае . Например, множество А={1,2} и множество корней уравнения равны между собой.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным.

Число элементов в конечном множестве А называется его мощностью и обозначается =0.

Если множество А конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом – числом его элементов.

Множество, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком называются универсальным () и образуют через U.

Совокупность всех подмножеств множества А называются его булеаном или множеством – степенью и обозначается В(А) или .