Контрольные задания
1 – 10. Исходя из определений равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эблера-Венна.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11 – 20. Исходя из свойств сочетаний, вычислить сумму и проверить справедливость полученного равенства при n=3.4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
21 – 30. Задана симметрическая матрица A неотрицательных целых чисел.
1.
Нарисовать на плоскости граф G=(X,U)
(единственный с точностью до изоморфизма),
имеющий заданную матрицу А своей матрицей
смежности. Найти матрицу инцидентности
графа G.
2.
Нарисовать на плоскости орграф G=(X,U)
(единственный с точностью до изоморфизма)?
Имеющий заданную матрицу А своей матрицей
смежности. Найти матриц инцидентности
Орграфа G.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31 – 40. Задана формула φ. От формулы φ перейти к эквивалентной ей формуле ψ так, чтобы формула φ не совершала связок «→» и «↔». Исходя из истинностных таблиц, доказать, что формулы φ и ψ равносильны (логически эквивалентны). Для формулы φ найти СКНФ и СДНФ.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Пример выполнения контрольного Задания
Исходя из определений равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера-Венна
Решение. Для удобства введем обозначения:
,
Множества равны,
если они состоят из одних и тех же
элементов. Следовательно, чтобы доказать
тождество
,
надо показать, что каждый элемент
является элементом множества
и наоборот.
Пусть
.
Это означает, что либо
,
либо
( по определению объединения множеств
). Если
,
то
и
,
а это значит , что
.
Если
,
то, по определению пересечения множеств,
и
.
Если
,
то
;
если
,
то
.
Значит
и
.
Следовательно
Итак,
если
,
то
,
то есть
.
Теперь покажем обратное. Пусть . Тогда, по определению пересечения множеств, и . По определению объединения множеств получаем: , либо и , либо .
Итак
могут представиться следующие случаи:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
.
В случаях 1), 2), 3) , откуда следует, что
.
В
случае 4)
и
,
следовательно
,
а отсюда вытекает, что
Таким образом,
если
,
то
,
то есть
.
Так как
и
,
то
.
Тождество доказано.
Приведенные рассуждения можно представить в виде схемы:
Т.е.
и
и
Т.е.
Проверим тождество при помощи диаграммы Эйлера-Венна.
Известно, что любое множество можно изобразить графически при помощи диаграммы Венна (Эйлера-Венна). Для этого рисуют либо замкнутую кривую, либо замкнутую ломанную линию и сжимают, что область, ограниченная этими линиями, изображает рассматриваемое множество. В нашем примере на рис. 1и 2 универсальное множество U изображено в виде прямоугольника, а его подмножества A, B, C изображены овалами, ограниченными замкнутыми линиями.
Рассматриваемые множества на диаграммах изображены двойной штриховкой. Множества A, B, C надо стараться располагать одинаково на обеих диаграммах. Выделенные множества представляют одну и ту же часть универсального множества. Это и доказывает тождество.
2. Исходя из свойств сочетаний вычислить сумму:
,
(1)
,
или
,
(2)
,
(3)
Все последующие преобразования будут даны с пояснениями.
Здесь использована формула определения числа сечения
В правой части знаменатели доведены до полных факториалов, а числители, для сохранения равнозначности преобразований, умножены на соответствующие величины.
Таким образом,
При n=6 имеем
,
Итак
.
3. Задана симметрическая матрица А неотрицательных целых чисел.
1.
Нарисовать на плоскости граф
(единственный
с точностью до изоморфа), имеющий заданную
матрицу А своей матрицей смежности.
Найти матрицу инцидентности
графа G.
2.
Нарисовать на плоскости орграф
(единственный с точностью до изоморфизма),
имеющий заданную матрицу А свое матрицей
смежности. Найти матрицу инцидентности
орграфа G.
А=
Решение1.
Напомним, что матрицей смежности графа
с множеством вершин
называется матрица
размера
,
в которой элемент
равен числу ребер в G,
соединяющих
с
.
Матрица смежности графа G
является симметрической, то есть
= .
Построим граф по заданной матрице смежности.
Поскольку
данная матрица является симметрической
матрицей четвертого порядка с
неотрицательными элементами, то ей
соответствует неориентированный граф
с четырьмя вершинами. Расположив вершины
на плоскости произвольным образом
(рис. 3), соединяем их с учетом кратности
ребер.
А=
