12. Общезначимость и выполнимость формул. Предваренная нормальная форма.
Определение 1. Формула логики предикатов называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула принимает истинные значения.
Определение 2. Формула А называется выполнимой, если существует область, на которой эта формула выполнима.
Определение 3. Формула логики предикатов называется тождественно истинной в области М, если она принимает истинные значения для всех значений переменных , входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
Определение 4. Формула А называется общезначимой, если она тождественно истинная во всякой области.
Определение 5. Формула А называется тождественно ложной в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
Из приведенных определений следует:
Если формула общезначима, то она и выполнима на всякой области.
Если формула тождественно истинна в области, то она выполнима в этой области.
Если формула невыполнима, то она тождественно ложна в любой области.
Пример 1. Доказать, что формула
выполнима.
Решение. Для доказательства выполнимости формулы A достаточно найти область определения двухместного предиката P(x,y) и такое его значение, что в этой области формула принимает истинное значение. Такой областью определения предиката, в зависимости, будет множеством М=N*N. Действительно, если P(x,y) – предикат «y:x», то формула A тождественно истинна в области М, и, следовательно, выполнима в этой области. Однако, если в качестве предиката P(x,y) взять предикат «y<x»,то формула А будет тождественно ложной в области М, и, следовательно, невыполнимой в М. При этом ясно, что формула А не общезначима.
Пример 2. Доказать, что формула
является общезначимой.
Решение. Считая, что формула А определена на любой области М, проведем равносильные преобразования:
т.е. формула А тождественно истинная для любых одноместных предикатов P(x) и Q(x) и в любой области.
Пример 3. Доказать, что формула
тождественно логична.
Решение. Так как формула
,
а формула
,
очевидно, тождественно ложна, то
тождественно ложна и формула А.
Говорят, что формула логики предикатов имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к элементарным формулам.
Среди нормальных форм формул логики предикатов важное значение имеют так называемые предваренные нормальные формы. В них кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо используются после всех операций алгебры логики.
Справедливо утверждение о том, что всякая формула логики предикатов путем равносильных преобразований может быть приведена к предваренной нормальной форме(п.н.ф.). При этом следует использовать равносильности логики предикатов, которые позволяют выносить за скобки кванторы существования и всеобщности, т.е. равносильности
Пример 4. Привести к п.н.ф. формулу
Решение. Проводя равносильные преобразования, получим
