10. Логика предикатов
Предикат (от лат. “сказуемое”) P - функция, переменные которой принимают значения из которого произвольного множества или множеств, возможно, и бесконечных, а сама функция принимает два значения: “истина” или “ ложь” (1 или 0).
Определение 1. Одноместным предикатом P(x) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент х пробегает значения из некоторого множества М, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.
Множество М, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.
Множество
,
на котором предикат принимает только
истинные значения, называется областью
истинности предиката
P
(x).
Предикат P
(x)
называется тождественно
истинным (ложным) на
множестве М, если
.
Определение 2. n
– местным предикатом называется всякая
функция n
переменных Q
,
определенная на множестве
и принимающая на этом множестве одно
из двух значений: истина или ложь.
Говорят, что
предикат P
(x)
является следствием
предиката
Q
(x)
если
и предикаты P
(x)
и Q(x)
равносильны
если
Так как предикаты принимают два значения 0 и 1, то к ним применимы все операции логики высказываний.
Пример 1. Выяснить, какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:
Решение. Предикаты 1), 3), 4) являются тождественно истинными. В предикате 2) при х = 0, у = 0 неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство нарушается при всех положительных значениях х. Следовательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.
Определение 3.
Конъюнкцией
двух предикатов P
(x)
и Q
(x)
называется новый предикат
который принимает значение “истина ”
при тех и только значениях
при которых каждый из предикатов
принимает значение “истина”, и “ложь”
во всех остальных случаях.
Область истинности
предиката
-
Определение 4.
Дизъюнкцией
двух предикатов P
(x)
и Q
(x)
называется новый предикат
который принимает значение “ложь”
при тех и только тех значениях
при которых каждый из предикатов
принимает значение “ложь” и “истинна”
– во всех остальных случаях.
Область истинности:
Аналогично
определяются операции импликация,
эквивалентность двух
предикатов и отрицание
предиката.
При этом:
При выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгебры логики.
Сказанное позволяет находить области истинности более ложных предикатов, полученных в результате применения к исходным предикатам логических операций.
Можно рассматривать и обратную задачу: зная область истинности предиката, полученного в результате применения логических операций к некоторым предикатам, записывать этот предикат.
Пример 2. На множестве М = {3, 4, 5, 6, 7, 8} заданы два предиката P (x): х – простое число. Q (x): х – нечетное число. Составить их таблицы истинности. Равносильны ли предикаты P (x) и Q(x) на множестве L = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, X = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
Решение.
Таблица 22
x |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
P (x) |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Q (x) |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Очевидно, что
=
{3, 5, 7},
=
{1, 1, 1}.
Таким образом, на множестве M P (x) = Q (x). На L и K предикаты не равносильны, ибо на L, например, 2 – простое и четное число, а на K 9 – нечетное, но составное число (табл. 22).
Пример 3.
Найти область истинности предиката
и изобразить на плоскости.
Решение. Неравенство,
составляющее исходный предикат,
ограничивает часть плоскости, заключенной
между ветвями параболы
(рис. 40)
Рис. 40
Пример 4.
Так как здесь
то искомый предикат имеет вид
Функциональная природа предиката влечет за собой введение еще одного понятия – квантора. Кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае бесконечных областей.
Пусть дан предикат
P
(x),
определенный на множестве М. Если
,
то P
(a)
– высказывание, называемое единичным.
В логике
предикатов рассматривается еще две
операции, которые превращают одноместный
предикат в высказывание.
Определение.
Пусть P
(x)
– предикат,
.
Под выражением
понимают высказывание, истинное, если
P
(x)
истинно для каждого элемента
,
и ложное в противном случае.
Символ
называется квантором всеобщности.
Соответствующее ему словесное выражение
звучит так: “для всякого х P
(x)
истинно”. Переменная х в предикате P
(x)
называется свободный
(х любое из
М), в высказывании
переменную х называют связанной
переменной.
Если предикат Р
(х) определен на конечном множестве
, то
(*)
Определение.
Пусть Р (х)
– предикат,
.
Под выражением
понимают высказывание, истинное, или
существует элемент
,
для которого Р (х) истинно, и ложное в
противном случае.
Символ
называется квантором существования.
Словесное выражение звучит так:
“существует х, при котором Р (х) истинно
”. Высказывание
уже не зависит от х, переменная х связана
квантором
.
Аналогично (*) имеет место равносильности
(**)
Из (*) и (**) следует – кванторные операции обобщают операции конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.
Кванторные операции
применяются и к многоместным предикатам.
Например, применение к кванторной
операции к предикату Р (х, у) по переменной
х ставит в соответствие двухместному
предикату Р (х, у) одноместный предикат
или
,
зависящий от у не зависящий от х. К этому
предикату можно применить кванторную
операцию по переменной у. В результате
получим или высказывание
или высказывание
.
Таким образом, может быть получено одно
из восьми высказываний:
,
,
,
,
,
,
,
В общем случае изменение порядка следования квантеров изменяет смысл высказывания и его логическое значение, например, высказывания и различны.
Пример. Установить
истинность или ложность высказывания
,
Исходное высказывание преобразуем к виду
Исходное высказывание истинно.
Пример.
Установить истинность или ложность
высказывания
Действуем аналогично
,
Но
поэтому любым х
не может быть ,исходное высказывание
ложно.