4. Равносильность высказываний.

Формулы алгебры логики принято обозначать большими буквами латинского алфавита, хотя возможны и другие обозначения. Две формулы алгебры логики называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Обозначение: . Очевидно, например, , p ~ p и т.д.

Между понятием равносильности и знаком эквивалентности существует следующая связь: если формулы равносильны, то формула принимает значение 1 при всех значениях переменных, и обратно: если формула принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее высказываний, то формулы равносильны, т.е. . При этом следует помнить, что знак является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы, а символ ~ заменяет слово “равносильно”.

1. Основные равносильности:

1.1. - закон идемпотентности конъюнкции.

1.2. - закон идемпотентности дизъюнкции.

1.3.

1.4. - закон противоречия.

1.5. - закон исключенного третьего.

1.6. - закон двойного отрицания.

1.7. - законы поглощения

1.8. - формулы расщепления.

Все эти соотношения легко проверяются по таблицам истинности.

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

2.1.

- основная формула доказательства теорем существования

2.2.

2.3.

2.4.

2.5. - законы де Моргана

2.6.

2.7.

Именно из равносильностей этой группы формул следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

3.1. - коммутативные законы конъюнкции и дизъюнкции.

3.2. - ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции.

3.3. - законы дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции.

Любая из равносильностей может быть доказана с помощью таблиц истинности, хотя часто оказывается легче провести доказательство с помощью логического рассуждения и упрощения формулы с использованием равносильностей (1- 3).

Отношение равносильности есть отношение эквивалентности, т.е. оно рефлексивно , симметрично т и транзитивно

Примеры.

1. Доказать равносильность

Используя равносильности ( 1 - 3 ) запишем цепочку равносильных формул

2. Упростить формулу

Запишем цепочку равносильных формул

3. Доказать равносильность

Пусть - производная формула. Тогда ,

Формула называется тавтологией (тождественно истинной), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных. Формула называется тождественно ложной (противоречивой), если она равна 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Формула называется выполнимой, если при коком – то наборе входящих в нее переменных она принимает значение 1.

Формула называется опровержимой, если при каком –то наборе входящих в нее переменных она принимает значение 0.

С точки зрения логики тавталогии это логические законы, т.к. они принимают истинные значения при любом наборе переменных.

В практических вычислениях часто используют следующие тавталогии ( , , - произвольные формулы).

1. .

2. .

3. .

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. - закон Пирса.

Один из способов доказательства математических предложений – метод от противного. Пусть некоторое утверждение в форме импликации ложно. Тогда необходимо и достаточно прийти к противоречию, т.е. доказать, что другое утверждение выполняется и не выполняется.

Доказательство выполняется по следующей схеме:

Приведем еще две более простые схемы доказательства от противного

Примеры.

1. Доказать тождественную истинность формулы

Запишем цепочку равносильных формул:

2. Проверить, что формула является тождественно истинной.

Составим таблицу истинности (табл. 14)

Таблица 14

p	q
1	1	0	0	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	1
0	0	1	1	1	1	1

Последний столбец состоит из всех единиц, что соответствует тождественной истине.

3. При каких значениях p, q, r формула , ложна?

Составим таблицу истинности (табл. 15)

Таблица 15

p	q
1	1	0	0	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1

Из таблицы видно, что p = 1, q = 0.