2. Понятие о высказывании

Всякое утверждение ( суждение ), о котором можно сказать, что оно истинно ( верно ) или ложно ( неверно ), называют высказыванием. Иными словами, всякое повествовательное предложение, утверждающее что – либо о чем – либо, при этом непременно истинное или ложное, является высказыванием.

Логичными значениями высказываний является “истина” и “ложь”, обозначаемые 1 и 0.

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называется простыми или элементарными. Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если …, то…”, называются сложными.

Эти названия не носит абсолютного характера. Высказывания, которые в одной ситуации можно считать простыми, в другой – будет сложными. В алгебре высказывания исследуется вопрос об истинности входящих в него простых высказываний. При этом необходимо иметь в виду, что высказывание может быть истинно в определенной ситуации. Эта ситуация бывает определена или не определена в самом высказывании.

Существуют высказывания истинные ( или ложные ) во всех возможных ситуациях. Такие высказывания называются абсолютно истинными ( соответственно абсолютно ложными ).

Абсолютно истинные и абсолютно ложные высказывания называются логическими константами.

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, житейское содержание игнорируется. Каждое высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

3. Основные логические операции

Элементарные высказывания обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, p, q и т.д. Из высказываний с помощью логических связок образуются новые высказывания. Истинность или ложность высказываний, полученных в результате логических операций над другими, зависит от истинности или ложности исходных высказываний, а также от характера производимых логических операций. По аналогии с арифметической ( например, таблицы умножения и сложения ) в алгебре высказываний также существуют таблицы истинности тех или иных логических операций, которыми они и определяются. Первой из простейших логических операций является отрицание, выражаемое словесно частицей “не”.

Отрицанием некоторого высказывания p называется такое высказывание ( читается “не p” ), которое истинно, если данное высказывание ложно, и ложно, если данное высказывание истинно ( рис. 1 )

Рис. 1

Например: 1) p: ( в делении на 3 ) – истинно, : ( в не делении на 3 ) – ложно.

Обозначим цифрой 1 – истинность, а цифрой 0 - ложность некоторого высказывания. Тогда, определение отрицания ложно выразить следующей таблицей, которую называют таблицей истинности ( табл. 1 )

Таблица 1

p
1	0
0	1

Таблица 2

p	q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Теперь можно познакомиться и с простейшими законами логики высказываний. Высказывание таково, что оба составляющие его высказывания и p одновременно истинны или одновременно ложны. Они имеют одно и то же значение истинности, т.е. эквивалентны. Равенство выражает одним из законов логики высказываний – закон двойного отрицания, позволяющее заменять сложное высказывание простым p.

Конъюнкцией ( логическим умножением ) двух высказываний p и q называется такое высказывание ( читается p и q ), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания ( рис. 2 ). Таблица истинности имеет вид ( табл. 2 )

Заметим, что операция “конъюнкция” происходит от латинского слова conjunction, означающее связь, союз.

Из определения конъюнкции следует ,

В повседневной речи союз “или” используется в двух различных смыслах: разделительном и соединительном. Например, “Виктор работает или отдыхает” – обе рассмотренные возможности исключают друг друга. “Если будет дождь или Алексей будет нездоров, то встреча не состоится”. Обе возможности объединяются в качестве некоторой причины.

В первом случае о двоичном “или”: или он работает или отдыхает. Во втором – о простом “или”: решение будет принято, если осуществится любая из возможностей, либо обе вместе.

Простое “или” используется для обозначения логической операции “дизъюнкции” ( от латинского слова disjunction - различие ).

Дизъюнкция ( логическим сложением ) двух высказываний p и q называется такое высказывание ( читается: p или q ), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний ( рис. 3 ).

Логические значения дизъюнкции описываются в табл. 3.

Рис. 3

Таблица 3

p	q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

В различных предложениях, в математических довольно часто, используются союз – связка “если …, то …”. Союз “если …., то …” соответствует логической операции, называется “импликацией” ( от латинского слова implico - связываю ).

Импликацией двух высказываний p и q называют такое высказывание, которое считается ложным, когда p истинно, а q ложно, и истинным во всех остальных случаях. Обозначается , читается “если p, то q” или “из p следует q”.

Высказывание p называется условием, посылкой или антецедентом, высказывание q – следствием, заключением или консеквентом.

Определение импликации выражается следующей таблицей истинности ( табл. 4 ).

Таблица 4

p	q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Попробуем разобраться с этой логической операцией. С первой ее строкой как будто все в порядке: истинно p, истинно q и истинно импликация .

Рассмотрим пример. Если равносторонний, то все его углы равны q. Значение истинности второго высказывания зависит от истинности первого:

- если - равносторонний, то q – истинно,

- если - не равносторонний, то q – ложно.

Однако импликация истинна и в первом, и во втором случае.

Рассмотрим теперь пример, приведенный в книге голландского математика Х. Фрейденталя, чтобы проиллюстрировать смысл третьей и четвертой строк таблицы истинности. Если некоторый поезд прибывает на станцию, то подается сигнал: “путь закрыт”.

Здесь p: поезд прибывает на данную станцию. q: подается сигнал, что путь закрыт.

Существуют четыре возможности значений истинности p и q. Рассмотрим их комбинации и оценим истинность импликации с точки зрения здравого смысла. Для наглядности используем следующую таблицу.

Таблица 5

q: сигнал	p: поезд
	прибывает	не прибывает
	1	0
Путь закрыт (1)	1	1
Путь открыт (0)	0	1

Из таблицы 5 видно, что импликация истинна, если:

а). Поезд прибывает, сигнал “путь закрыт” (1; 1; 1).

б). Поезд не прибывает, сигнал “путь открыт” (0; 0; 1).

в). Поезд не прибывает, сигнал “путь закрыт” (0; 1; 1).

Ведь в тексте ничего не говорится о том, какой сигнал надо подавать, если поезд не прибывает ( путь можно закрыть и по другой причине, аварии не будет ).

Импликация ложна лишь тогда, когда:

г). Поезд прибывает, сигнал “путь свободен” (1; 0; 0).

Если подходить формально к рассмотрению импликации, то истинными окажутся высказывания, которые на практике обычно называют бессмысленными. Например, если 2 < 5, то в любом треугольнике 3 угла. Здесь никакого следования одного q из другого p нет. Поэтому обычно рассматривают те импликации, которые связаны содержательно, хотя это условие в определении импликации формально не зафиксировано.

Очень часто различные утверждения конструируются при помощи довольно сложных связок: “те и только те”, “тогда и только тогда”, “если и только если”, “необходимо и достаточно”. С помощью этих союзов строятся высказывания, называемые эквивалентностью (от латинского слова acquivalens – равноценное, равнозначащее), или двойной импликацией. Например, любой четырехугольник – параллелограмм тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Эквивалентностью ( эквиваленцией, логической эквивалентностью ) двух высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно и только тогда, когда оба высказывания p и q либо оба – ложны, и ложно во всех остальных случаях.

Обозначается , читается “для того чтобы p, необходимо и достаточно, чтобы q” или “p тога и только тогда, когда q”.

Таблица истинности эквивалентности имеет вид

Таблица 6

p	q
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Если сравнить определения импликации и эквивалентности, то нетрудно обнаружить следующий логический закон их связи

Эквивалентность играет значительную роль в математических доказательствах. Например, большое число теорем формируется в форме необходимых и достаточных условий.

Используемые в математической логики символы называются пропозициональными связками или связками исчисления высказываний. Отметим, что часто различные по виду знаки означают одно и то же высказывание. Например, для обозначения эквивалентности могут быть использованы символы ; для конъюнкции - &, ( причем точку часто опускают; для отрицание употребляются знаки ).

Логическим связкам приписываются ранги в следующем порядке убывания старшинства: Таким образом, связка более высокого ранга имеет большую область действия.

Таблицы истинности называются также интерпретациями логических операций и составляются семантику формул ( т.е. придание смысла формулам ) в отличие от синтаксиса формул ( т.е. формальных законов их построения, данных в определении формулы ).

Следует заметить, что рассмотренным набором не исчерпываются все логические связки. Например, существуют такие операции как штрих Шеффера, стрелка Пирса, кольцевая сумма.

Штрих Шеффера обозначается символом и определяется следующей таблицей истинности ( табл. 7 ).

Таблица 7

p	q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Операция штрих Шеффера характерна тем, что с ее помощью может быть выражена любая из пяти операций. Например, . Таблица истинности для этой формулы имеет вид ( табл. 8 ).

Таблица 8

p	p
1	1	0	0
1	1	0	0
0	0	1	1
0	0	1	1

По определению, штрих Шеффера или антиконъюнкция, равна

Для операции конъюнкции, например, выражение через штрих Шеффера имеет вид

а таблица истинности – вид ( табл. 9 )

таблица 9

p	q	(p/q)	(p/q)	(p/q)/(p/q)
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	0	0

Стрелка Пирса или антидизъюнкция обозначается так . По определению

.

Таблица истинности имеет вид (табл. 10)

Таблица 10

P	q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Кольцевая сумма обозначается так . По определению

= .

Таблица истинности имеет вид (табл. 11)

Таблица 11

P	q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Исходя из таблицы истинности для логических операций, можно строить таблицы истинности для произвольных формул.

Пример 1. Построить таблицу истинности для формулы

Решение. Будем строить таблицу истинности последовательно в соответствии с шагами построения формулы . (табл. 12)

Таблица 12

p	q	r
0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	0	0

Нетрудно заметить, что таблица истинности для совпадает с таблицей истинности .

Как видно из рассмотренного примера, даже при составлении несложных формул, возникает обилие скобок. Чтобы избежать этого, в алгебре логики приняты некоторые соглашения относительно расстановки скобок.

1. Внешние скобки не пишутся. Например, вместо высказывания ( ) пишется .

2. На множестве вводится транзитивное отношение “быть более сильным” и отношение эквивалентности ~ “быть равносильным” по правилам, показанным на рис. 4

Рис. 4

Согласно этим отношениям недостающие скобки в формуле расставляются последовательно, начиная с наиболее сильных связок и кончая наиболее слабыми, а для равносильных связок расстановка скобок выполняется слева направо.

Пример 2. в формуле скобки расставляются следующим образом: ; в формуле - , в формуле -

Отметим, что, например, в формуле скобки убирать нельзя, поскольку в силу наших соглашений формуле соответствует формула .

Итак, с помощью логических операций можно строить более сложные высказывания, причем порядок операций обычно указывается скобками. Чтобы подвести итог, определим понятие формулы логики высказываний. Начнем с языка. Язык определен, если установлен алфавит и его символы.

Алфавитом называют любое непустое множество, элементы которого являются символами данного алфавита.

Любая конечная последовательность символов алфавита называется словами или выражениями данного языка. Алфавит логики высказываний содержит такие символы: буквы латинского алфавита с индексом или без него, логические связки, разделители.

Всякое сложное высказывание, которое можно получить из элементарных высказываний с помощью логических связок, называется формулой алгебры логики.