- •Автор: р. З. Камалян – доктор технических наук, профессор
- •Криволинейные и поверхностные интегралы: Методическая разработка для студентов дневной формы обучения по специальностям:
- •351400 – Прикладная информатика в экономике;
- •1. Чтение учебников и учебных пособий
- •2. Решение примеров
- •3. Самопроверка усвоения изученной темы
- •4. Консультации (письменные и устные)
- •5. Выполнение контрольных работ
- •6. Лекции и практические занятия
- •7. Требования на зачете и экзамене
- •8. Рекомендуемая литература
- •Элементы теории множеств
- •2. Основные операции над множествами
- •3. Свойства операций над множествами
- •4. Декартово произведение множеств
- •5. Отображение множеств. Функции.
- •6. Бинарные отношения.
- •Свойства разложения бинома Ньютона
- •Основные формулы числа сочетаний
- •Решение комбинаторных уравнений
- •5. Элементы теории графов и сетей
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Операции над графами
- •3. Деревья. Лес.
- •4. Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •5. Плоские и планарные графы
- •6. Матрицы графов
- •7. Понятие сети
- •Алгоритм построения максимального потока.
- •Построить некоторый начальный поток
- •Элементы математической логики
- •Предел математической логики
- •2. Понятие о высказывании
- •3. Основные логические операции
- •4. Равносильность высказываний
- •1. Основные равносильности:
- •2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
- •3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
- •5. Алгебра Буля. Основные законы
- •6. Булевы функции
- •7. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики и закон двойственности
- •8. Представление булевых функций нормальными формами
- •8.1. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •8.2. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма
- •9. Проблема разрешимости
- •Элементы математической логики
- •1. Предмет математической логики
- •2. Понятие о высказывании
- •3. Основные логические операции
- •4. Равносильность высказываний.
- •1. Основные равносильности:
- •2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
- •3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
- •5. Алгебра Буля. Основные законы.
- •6. Булевы функции
- •7. Представление производной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики и закон двойственности
- •8. Представления булевых функций нормальными формами
- •8.1. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •8.2. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма
- •9. Проблема разрешимости
- •10. Логика предикатов
- •11. Формулы логики предикат
- •12. Общезначимость и выполнимость формул. Предваренная нормальная форма.
- •Контрольные задания
- •Пример выполнения контрольного Задания
Элементы математической логики
1. Предмет математической логики
В повседневной жизни случается так, что нам недостает сведений о каком – то интересующем нас предмете. В этом случае приходится обращаться к различным источникам ( справочникам, энциклопедиям и т.д. ). Но иногда мы пытаемся необходимые сведенья получить самостоятельно, без использования чьих – либо знаний. Можно прийти нужным нам сведеньям либо путем соответствующих наблюдений и опытов, либо пи помощи правильного умозаключения. Конечно же в становлении человеческого знания как целого опыт сыграл гораздо большую роль в сравнении с умозаключением. Однако умозаключение так же представляет собой одно из действий, увеличивающих наши знания.
В рассуждениях, принятых называть умозаключениями, всегда приходится иметь дело с двумя группами информации:
Сведения, которыми мы располагаем до начала рассуждения.
Сведения, которые выводятся из первой группы путем рассуждения.
Информацию первого типа называют посылка или условиями, а вторые – выводами умозаключений.
Очевидно, что не каждое рассуждение углубляет наши знания и не каждое обогащает их истинными сведениями. Рассуждение, как и всякое другое действие, может быть проведено ложно ( ошибочно ), и тогда трудно полагаться на выводы. Кроме того, если посылки в рассуждении были ложными, то нет основания доверять выводам из них, хотя бы по аналогии с другими, похожими действиями. Посылки ( условия ) представляют собой как бы материал, сырье для умозаключения, а вывод – готовую продукцию умозаключения. Посылки или выводы являются хорошими, правильными, если они истинны, т.е. соответствуют действительности. Следовательно, способ умозаключения можно назвать правильным, если он от истинных посылок всегда ведет к истинным выводам.
Такое описание правильного умозаключения в данном случае не дает никакого рецепта, каким образом следует рассуждать, чтобы проводить правильное умозаключение. Но раскрытие необходимого рода рецептов очень важно.
Не удивительно так же, что издавна различные мыслители пробовали давать различные рецепты ( правила, схемы ) правильных умозаключений, которые от истинных посылок неизбежно приводят только к истинным выводам ( заключениям, следствиям ). Этих мыслителей называют логиками, а науку, устанавливающие методы ( схемы ) правильных умозаключений, - формальной логикой.
Формальная логика существует уже более двух тысячелетий.
Идеи о построении логики на математической основе, т.е. по сути математической логики были высказаны Лейбницем еще в начале 18 – го века. Это идеи впервые были реализованы Д. Булем в середине 19 – го столетия. Буль создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, что привело к появлению алгебры высказываний.
Современная математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Одна из главных причин широкого распространения математической логики – применение аксиоматического метода в построении различных математических теорий. В ней сначала выбирается некоторые понятия, которые не определяются, а лишь поясняются и в этой связи их называют основными.
Математическая логика, исходя из основных законов логики формальной, исследует закономерности логических процессов, применяя математические методы. Известный математик Д. Гильберт по этому поводу сказал: ”… Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении“.
И действительно, математический ( точнее, символический ) язык оказался для этого самым подходящим. Математическая логика не только помогла создать теорию математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.