9. Проблема разрешимости
Все формулы алгебры логики делятся на три класса:
Тавталогии
Тождественно ложные
Выполнимые
Формулу А называют выполнимой, если она принимает значение единицы хотя бы на одном наборе входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.
Вопрос, к какому классу формул относится текущая формула А, и называется проблемой разрешимости, которая элементарно решается с помощью таблицы истинности, однако для больших формул таблицы очень громоздки и их использование затруднительно.
Другой способ основан на приведении формулы А к КНФ и ДНФ и использовании алгоритма, позволяющего определить, является ли данная формула тождественно истинной или нет. Одновременно с этим решается вопрос о том, будет ли формула А выполненной.
Вышеназванный
алгоритм таков. Сначала рассматривается
формула А. Если
,
то задача решена. В противном случае
рассматривается формула
.
Если
,
то
и задача решена. Если это не так, то А –
выполнимая формула.
Установление тождественной истинности формулы А основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Для того, чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.
Например,
Теорема 2. Для того, чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.
Теорема 3. Для того, чтобы формула алгебры логики А была тождественно истинна, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, содержала переменную и ее отрицание.
Теореме 4. Для того, чтобы формула алгебры логики А была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ А, содержала и ее отрицание.
Пример.
Получить СДНФ и СКНФ с помощью таблицы истинности и путем элементарных преобразований.
Составим таблицу истинности ( табл. 20 ). Из таблицы сразу получаем
СДНФ
.
Таблица 20
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Из таблицы также видно, что формула А – выполнимая формула. Найдем теперь СКНФ по формуле
СКНФ А =
,
Элементарными преобразованиями исходной формулы получить СДНФ и СКНФ часто бывает значительно сложней, чем из таблицы истинности
-
сразу ДНФ и СДНФ.
СДНФ – дизъюнкция элементарных конъюнкций. В ней только одно слагаемое ху, других нет.
Найдем теперь СКНФ. Для этого нужна хоть какая – то КНФ. Например, ху – КНФ, так как х и у можно считать элементарными.