5. Алгебра Буля. Основные законы

Равносильности 3 – ей группы говорят то том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые производятся в алгебре чисел ( раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя ).

Но в алгебре логики возможны и другие преобразования, основанные на использовании равносильностей, например, и т.д. Эта особенность позволяет прийти и к далеко идущим обобщениям.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {p, q, r, …}, в котором определены отношение “=” (равно) и три операции: “+” (сложение), “ ” (умножение) и “-” (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы

Ассоциативные законы

Дистрибутивные законы

Законы идемпотентности

Законы двойного отрицания

Законы для Моргана

Законы поглощения

Такое множество М называется булевой алгеброй.

Если под основными элементами p, q, r, … подразумевается высказывания, под операциями “+”, “ ”, “-” дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривается как знак равносильности, то, как следует из равносильностей 1, 2 и 3 групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.

В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выполняются, говорят, что найдена интерпретация ( или модель ) данной системы аксиом.

Алгебра логики является интерпретацией булевой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпретации. Например, если под основными элементами p, q, r, … множества М подразумевать множества, под операциями “+”, “ ”, “-” объединения, пересечения, дополнение соответственно, а под знаком равенства – знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств, в котором все аксиомы алгебры Буля выполняются.

Среди различных интерпретаций алгебры Буля имеются интерпретации и технического характера.

6. Булевы функции

Значения формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных высказываний.

Например, формула является функцией трех переменных f (p, q, r). Особенность этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принимают одно из двух значений 0 и 1.

Определение. Функцией алгебры логики n переменных или функцией Буля называется функция n переменных, где каждая переменная принимает два значения 0 и 1, и при этом функция может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.

Ясно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.

Выясним, каково число функций n переменных. Очевидно, каждую функцию алгебры логики ( как и формулу алгебры логики) можно задать с помощью таблицы истинности, которая будет содержать строк.

Следовательно, каждая функция n переменных принимает значений, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, функция n переменных полностью определяется набором значений из нулей и единиц длины . Общее значение же число наборов, состоящих из нулей и единиц, длины равно . Значит, число различных функций алгебры логики n переменных равно .

Рассмотрим, к примеру, таблицу истинности для различных функций одной переменной. Она имеет вид (табл. 15)

Таблица 15

p
1	1	1	0	0
0	1	0	1	0

Из таблицы видно, что а

Таблица истинности для всевозможных функций двух переменных имеет вид: где i = 1, 2, …, (табл. 16)

Таблица 16

p	q
1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0

Аналитические выражения этих функций могут быть записаны следующим образом:

~1, ,