4. Равносильность высказываний
Формулы алгебры
логики принято обозначать большими
буквами латинского алфавита, хотя
возможны и другие обозначения. Две
формулы алгебры логики
называются равносильными, если они
принимают одинаковые логические значения
при любом наборе значений входящих в
формулы элементарных высказываний.
Обозначение:
.
Очевидно, например,
,
p
~ p
и т.д.
Между понятием
равносильности
и законом эквивалентности
существует
следующая связь: если формулы
равносильны, то формула
принимает значение 1 при всех значениях
переменных, и обратно: если формула
принимает значение 1 при всех значениях
входящих в нее высказываний, то формулы
равносильны, т.е.
.
При этом следует помнить, что знак
является
символом формального языка, с помощью
которого строятся формулы, а символом
~ заменяется слово “равносильно”.
1. Основные равносильности:
1.1.
- закон идемпотентности конъюнкции
1.2. - закон идемпотентности дизъюнкции
1.3.
.
1.4.
- закон противоречия
1.5.
- закон исключенного третьего.
1.6.
- закон двойного отрицания.
1.7.
- законы поглощения.
1.8.
- формулы расщепления.
Все эти соотношения легко проверяются по таблицам истинности.
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
2.1.
- основная формула доказательства теорем
существования.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
- законы де Моргана.
2.6.
.
2.7.
.
Именно из равносильностей этой группы формул следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.
3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
3.1.
- коммутативные законы конъюнкции и
дизъюнкции.
3.2.
- ассоциативность
конъюнкции и дизъюнкции.
3.3.
- законы
дистрибутивности конъюнкции и дизъюнкции
и дизъюнкции относительно конъюнкции.
Любая из равносильностей может быть доказана с помощью таблиц истинности, хотя часто оказывается легче провести доказательство с помощью логического рассуждения и упрощения формулы с использованием равносильностей (1 - 3).
Отношение
равносильности есть отношение
эквивалентности, т.е. оно рефлексивно
(
), симметрично
и
транзитивно
.
Примеры.
1. Доказать равносильность
Используя равносильность (1 - 3) запишем цепочку равносильных формул
2. Упростить формулу
.
Запишем цепочку равносильных формул
3. Доказать равносильность
Пусть
и
- произвольная
формула.
Тогда
Формула
называется
тавталогией
( тождественно истинной),
если она принимает значение 1 при всех
значениях входящих в нее переменных.
Формула
называется
тождественно логичной
(
противоречивой
), если она равна 0 при всех значениях
входящих в нее переменных.
Формула называется выполнимой, если при каком – то наборе входящих в нее переменных она принимает значение 1.
Формула называется опровержимой, если при каком – то наборе входящих в нее переменных она принимает значение 0.
С точки зрения логики тавталогии это логические законы, т.к. они принимают истинные значения пи любом наборе переменных.
В практических
вычислениях часто используют следующие
тавталогии (
,
- произвольные формулы).
.
.
- закон Пирса.
Один из способов
доказательства математических предложений
– метод от противного. Пусть некоторое
утверждение в форме импликации
ложно. Тогда
необходимо прийти к противоречию, т.е.
доказать, что другое утверждение
выполняется
и не выполняется.
Доказательство
выполняется по следующей схеме:
Приведем еще две более простые схемы доказательства от противного
Примеры.
1. Доказать тождественную истинность формулы
Запишем цепочку равносильных формул:
2. Проверить,
что формула
является тождественно истинной.
Составим таблицу истинности ( табл. 13 )
Таблица 13.
p |
q |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Последний столбец состоит из всех единиц, что соответствует тождественной истине.
3. При каких
значениях p,
q,
r
формула
,
логична?
Составим таблицу истинности (табл. 14)
Таблица 14
p |
q |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Из таблицы видно, что p = 1, q = 0.