2. Понятие о высказывании
Всякое утверждение ( суждение ), о котором можно сказать, что оно истинно ( верно ) или ложно ( неверно ), называют высказыванием. Иными словами, всякое повествовательное предложение, утверждающее что – либо о чем - либо, при этом непременно истинное или ложное, является высказыванием.
Логическими значениями высказываний является “истина” и “логика”, обозначаемыми 1 и 0.
Высказывания, предоставляющими собой одно утверждение, называются простыми или элементарными. Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “ и”, “или”, “если…”, “то …”, называются сложными.
Эти названия не носят абсолютного характера. Высказывания, которые в одной ситуации можно считать простыми, в другой – будут сложными. В алгебре высказываний исследуется вопрос об истинности сложного высказывания в зависимости от истинности входящих в него простых высказываний. При этом необходимо иметь в виду, что высказывание может быть истинно в определенной ситуации. Эта ситуация бывает определена или не определена в самом высказывании.
Существуют высказывания истинные ( или ложные ) во всех возможных ситуациях. Такие высказывания называются абсолютно истинными ( соответственно абсолютно логичными).
Абсолютно истинные и абсолютно ложные высказывания называются логическими константами.
В алгебре логики все высказывания рассматриваются с точки зрения их логического значения, житейское содержание игнорируется. Каждое высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Ни одно высказывание может одновременно истинным или ложным.
3. Основные логические операции
Элементарные высказывания обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, b, p, q и т.д. Из высказываний с помощью логических связок образуются новые высказывания. Истинность или ложность высказываний, полученных в результате логических операций над другими, зависит от истинности или ложности исходных высказываний, а также от характера производных логических операций. По аналогии с арифметической ( например, таблицы умножения и сложения) в алгебре высказываний также существуют таблицы истинности тех или иных логических операций, которыми они и определяются.
Первой из простейших логических операций является отрицание, выражаемое словесно частицей “не”.
Отрицанием
некоторого высказывания р называется
такое высказывание
(
читается “не р” ), которое истинно, если
данное высказывание ложно, и ложно, если
данное высказывание истинно ( рис.1 )
Рис. 1
Например: 1) р: ( 6 делится на 3 ) – истинно, : ( 6 не делится на 3 ) – ложно.
Обозначим цифрой 1 – истинность, а цифрой 0 – ложность некоторого высказывания. Тогда, определение отрицания можно выразить следующей таблицей ,которую называют таблицей истинности ( табл. 1 )
Табл. 1
р |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
Табл. 2
р |
q |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Теперь можно
познакомиться и с простейшими законами
логики высказываний. Высказывание
= р
таково, что оба составляющие его
высказывания
и р одновременно
истинны или одновременно ложны. Они
имеют одно и тоже значение истинности,
т.е. эквивалентны. Равенство
= р выражает
один из законов логики высказываний –
закон двойного
отрицания,
позволяющее заменять сложное высказывание
простым р.
Конъюнкцией ( логическим умножением ) двух высказываний р и q называется такое высказывание ( читается р и q ), которое истинно тогда и только тогда ,когда истинны оба составляющих его высказывания ( рис. 2 )
Конъюнкция нескольких высказываний в математических утверждениях часто выражается:
принадлежность двух или нескольких признаков одному объекту ( например, число 12 делится на 2, и на 3, и на 4, и на 6, и на 12 );
принадлежность одного признака двум или нескольким объектам ( например, ромб и квадрат – параллелограммы).
Ясно, что высказывание
всегда
ложно (закон
противоречия).
Заметим, что операция “конъюнкции” происходит от латинского слова conjunction, означающее связь, союз.
Из определения
конъюнкции следует
,
В повседневной речи союз “ или ” используется в двух различных смыслах: разделительном и соединительном. Например: “Вектор работает или отдыхает” – обе рассмотренные возможности исключают друг друга. “Если будет дождь или Алексей будет нездоров, то встреча не состоится”. Обе возможности объединяются в качестве некоторой причины.
В первом случае о двоичном “или”: или он работает, или отдыхает. Во втором – о простом “или”: решение будет принято, если осуществиться любая из возможностей, либо обе вместе.
Простое “или” используется для обозначения логической операции “дизъюнкции” ( от латинского слова disjunctio - различие ).
Дизъюнкцией (
логическим
сложением )
двух
высказываний p
и q
называется такое высказывание
( читается: p
и q
), которое истинно тогда и только тогда,
когда истинно хотя бы одно из составляющих
его высказываний ( рис.3 ).
Логические значения дизъюнкции описываются в табл. 3.
Рис. 3
Таблица 3.
p |
q |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
В различных предложениях, а в математическом довольно часто, используется союз – связка “если …, то …”. Союз “если …, то …” соответствует логической операции, называемой “импликацией” ( от латинского слова implico - связываю).
Импликацией двух
высказываний p
и q называется
такое высказывание, которое считается
ложным, когда p
истинно, а q
ложно, и истинным во всех остальных
случаях. Обозначается
или
,
читается “если p,
то q”
или “из p
следует q”.
Высказывание p называется условием, посылкой или антецедентом, высказывание q – следствием, заключением или консеквентом.
Определение импликации выражается следующей таблицей истинности ( табл. 4 ).
Таблица 4.
p |
q |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Попробуем разобрать с этой логической операцией. С первой ее строкой как будто все в порядке: истинно p, истинно q и истинно импликацией .
Рассмотрим пример.
Если
равносторонний, то все его углы равны
q.
Значение истинности второго высказывания
зависит от истинности второго высказывания
зависит от истинности первого:
- если - равносторонний, то q – истинно,
- если - не равносторонний, то q – ложно.
Однако импликация истинна и в первом, и во втором случае.
Рассмотрим теперь пример, приведенный в книге голландского математика Х. Фрейденталя, чтобы проиллюстрировать смысл третьей и четвертой строк таблицы истинности. Если некоторый поезд прибывает на станцию, то падает сигнал: “путь закрыт”.
Существуют четыре возможности значений истинности p и q. Рассмотрим их комбинацию и оценим истинность импликации с точки зрения здравого смысла. Для наглядности используем следующую таблицу.
Таблица 5.
q: сигнал |
p: поезд |
|
прибывает |
не прибывает |
|
1 |
0 |
|
Путь закрыт (1) |
1 |
1 |
Путь открыт (0) |
0 |
1 |
Из таблицы 5 видно, что импликация истинна, если:
поезд прибывает, сигнал “путь закрыт” (1; 1; 1).
поезд не прибывает, сигнал “путь открыт” ( 0; 0; 1).
поезд не прибывает, сигнал “путь закрыт” (0; 1; 1).
Ведь в тексте ничего не говорится о том, какой сигнал надо подать, если поезд не прибывает ( путь можно закрыть и по другой причине, аварии не будет ).
Импликация ложна лишь тогда, когда:
г) поезд прибывает, сигнал “путь свободен” (1; 0; 0).
Если подходить
формально к рассмотрению импликации,
то истинными окажутся высказывания,
которые на практике обычно называются
бессмысленными. Например, если
,
то в любом треугольнике 3 угла. Здесь
никакого следования одного q
из другого p
нет. Поэтому обычно рассматривают те
импликации, которые связаны
содержательно,
хотя это условие в определении импликации
формально не зафиксировано.
Очень часто различные утверждения конструируются при помощи довольно сложных связок: “те и только те”, “тогда и только тогда”, “если и только если”, “необходимо и достаточно”. С помощью этих союзов строятся высказывания, называемые эквивалентностью ( от латинского слова acquivalens – равноценное, равнозначащее), или двойной импликацией. Например, любой четырехугольник – параллелограмм тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Эквивалентностью ( эквиваленцией, логической эквивалентностью) двух высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания p и q либо истинны, либо оба – ложны, и ложно во всех остальных случаях.
Обозначается
(
),
читается “для того чтобы p,
необходимо и достаточно, чтобы q
” или “pтогда
и только тогда, когда q”.
Таблица истинности эквивалентности имеет вид
Таблица 6.
p |
q |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Если сравнить определения импликации и эквивалентности, то нетрудно обнаружить следующий логический закон их связи
Эквивалентность играет значительную роль в математических доказательствах. Например, большое число теорем формируется в форме необходимых и достаточных условиях.
Используемые в
математической логике символы называются
пропозициональными
связками
или связками
исчисления
высказываний. Отметим, что часто различные
по виду знаки означают одно и тоже
высказывание. Например, для обозначения
эквивалентности могут быть использованы
символы
для конъюнкции
,
(причем
точку часто опускают; для отрицания
употребляют знаки
,
-).
Логическим связкам
приписываются ранги в следующем порядке
убывания старшинства:
Таким образом, связка более высокого
ранга имеет большую область действия.
Таблицы истинности называются также интерпретациями логических операций и составляют семантику формул ( т.е. придание смысла формулам) в отличие от синтаксиса формул ( т.е. формальных законов их построения, данных в определении формулы).
Следует заметить, что рассмотренным набором не исчерпываются все логические связки. Например, существуют такие операции как штрих Шеффера, стрелка Пирса, кольцевая сумма.
Штрих Шеффера
обозначается символом
и определяется следующей таблицей
истинности (табл.7).
Таблица 7.
p |
q |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Операция штрих
Шеффера характерна тем, что с ее помощью
может быть выражена любая из пяти
операций. Например,
Таблица
истинности для этой формулы имеет вид
(табл. 8).
Таблица 8.
p |
p |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
По определению, штрих Шеффера или антиконъюнкция, равна
Для операции конъюнкции, например, выражение через штрих Шеффера имеет вид
а таблица истинности – вид (табл.9).
Таблица 9.
p |
q |
(p/q) |
(p/q) |
(p/q)/(p/q) |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Стрелка Пирса или
антидизъюнкция обозначается так
.
По определению
=
.
Таблица истинности имеет вид (табл.10).
Таблица 10.
p |
q |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Кольцевая сумма
обозначается так
.
По определению
Таблица истинности имеет вид (табл. 11)
Таблица 11
p |
q |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Исходя из таблицы истинности для логических операций, можно строить таблицы истинности для произвольных формул.
Пример 1. Построить
таблицу истинности для формулы
Решение. Будем
строить таблицу истинности в соответствии
с шагами построения
.
(табл. 12).
Таблица 12.
p |
q |
r |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Нетрудно заметить, что таблица истинности для совпадает с таблицей истинности для .
Как видно из рассмотренного примера, даже при составления сложных формул, возникает обилие скобок. Чтобы избежать этого, в алгебре логики приняты некоторые соглашения относительно расстановки скобок.
Внешние скобки не пишутся. Например, вместо высказывания
пишется
.На множестве
вводится транзитивное отношение
“быть более сильным” и отношение
эквивалентности ~ “быть равносильным”
по правилам, показанным на рис. 4.
Рис. 4
Согласно этим отношениям недостающие скобки в формуле расставляются последовательно, начиная с наиболее сильных связок и кончая наиболее слабыми, а для равносильных связок расстановка скобок выполняется слева на право.
Пример 2.
В формуле
скобки расставляются следующим образом:
в формуле
,
в формуле
Отметим, что,
например, в формуле
скобки
убирать нельзя, поскольку в силу наших
соглашений формуле
соответствует формула
.
Итак, с помощью логических операций можно строить более сложные высказывания, причем порядок операций обычно указывается скобками. Чтобы подвести итог, определим понятие формулы логики высказываний. Начнем с языка. Язык определен, если установлен алфавит и его символы.
Алфавитом называют любое не пустое множество, элементы которого являются символами данного алфавита.
Любая конечная последовательность символов алфавита называется словом или выражением данного языка. Алфавит логики высказываний содержит такие символы: буквы латинского алфавита с индексом или без него, логические связки, разделители.
Всякое сложное высказывание, которое можно получить из элементарных высказываний с помощью логических связок, называется формулой алгебры логики.