7. Понятие сети
Сеть – это конечный граф без циклов и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины J, являющийся входом ( истоком ) графа, к вершине S, являющейся выходом ( стоком ) графа ( рис. 23 ).
Рис.
23
Максимальное
количество
вещества,
которое может пропустить за единицу
времени ребро ( i,
j
) называется его пропускной
способностью.
В общем случае
.
Если вершины k
и l
на сети не соединены, то
.
На рис. 23 пропускные способности ребер указаны в скобках: первое число – это пропускная способность в направлении от вершины i к вершине j, второе – в противоположном направлении.
Пропускные
способности ребер сети можно задать
квадратной матрицей n
– го порядка ( n
– число вершин
сети ). Поскольку
,
то главная диагональ матрицы состоит
из нулей. Для сети на рис. 23 матрица R
пропускных способностей имеет вид
Количество
вещества,
проходящего через ребро ( i,
j
) в единицу времени, называется потоком
по ребру (
i,
j
). При этом
,
а
=
0.
Совокупность
потоков по всем ребрам ( i,
j
) сети называют потоком
по сети или
просто потоком.
Поток по каждому
ребру не превышает его пропускную
способность, т.е.
(
i, j
= 1 - n).
Количество вещества, притекающее в вершину, равно количеству вещества, вытекающего из нее.
Из свойства потоков по ребрам сети следует, что общее количество вещества, исходящего из истока J, совпадает с общим количеством вещества, поступающего в сток S, т.е.
( * )
Линейную функцию ( * ) называют мощностью потока на сети.
Имеет место
следующая ЗЛП о максимально потоке:
найти
совокупность ребер по сети для которых
мах
при условии
Для решения задачи сеть разбивают на два непересекающихся подмножества таким образом, чтобы исток J попал в подмножество А, а сток S – в подмножество В. В этом случае говорят, что на сети произведен разрез, отделяющий исток J от стока S.
Совокупность ребер ( i, j ) начальные вершины которых попали во множество А, конечные – во множество В, называется разрезом сети и обозначается А / В.
Например, на рис.23 показан разрез А / В, при котором вершины сети оказались разбитыми на подмножества А={1, 2} и В={3, 4, 5}, а ребрами, образующими разрез, стали ( 1, 3 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ) и ( 2, 5 ).
Если на сети задач
некоторый поток
,
то ребро (i,
j)
называют насыщенным
при
и
ненасыщенным
при
.
Так, на рис.23 ребро ( 1, 2 ) насыщенное, как
и ребро ( 4, 5 ), ( 3, 5 ), а все остальные ребра
насыщенные.
Величина
Представляющая
собой сумму пропускных способностей
всех ребер разрыва, называется пропускной
способностью разреза.
Например, для разреза на рис. 23 R( A / B ) = 4+3+5+6=18.
Величина
представляющая собой сумму потоков по всем ребрам разреза, называется потоком через разрез.
Например, для разреза на рис.23
Х( А / B ) = 3 + 0 + 1 + 1 = 5.
Теорема Форда – Фалкерсона. На любой сети максимальная величина потока из истока J в сток S равна минимальной пропускной способности разреза, отделяющего J oт S.