5. Плоские и планарные графы

Граф G называется планарным ( плоским ), если существует изоморфный ему граф G’, в изображении которого на плоскости ребра пересекаются только в вершинах. Иными словами, у планарного графа никакие два ребра не имеют общих точек, кроме общих вершин. Например, граф на рис. 5 является планарным, а на рис. 7 – нет.

Теорема Эйлера. Связный плоский граф с n вершинами и m ребрами разбивает плоскость на k областей ( включая и внешнюю ), причем

n – m + k = 2.

Граф называется двудольным, если множество его вершин X может быть разделено на два непересекающихся подмножества таким образом, что каждое ребро графа соединяет вершины из двух различных подмножеств.

6. Матрицы графов

При большом числе элементов рисунок графа теряет наглядность. В таком случае граф целесообразно задать матричным способом. Такое задание графа удобно и для анализа на компьютере. Граф можно задать различными матрицами, выбор которых диктуется особенностями конкретной задачи.

Матрица смежности вершин орграфа – это квадратная матрица n – го порядка ( n – число вершин). Строки и столбцы матрицы соответствуют вершинам графа. Элементы матрицы равны числу дуг, направленных из i – й вершины в j – ю. Если орграф состоит из однократных дуг, то элементы матрицы равны либо 0, либо 1.

В случае неориентированного графа ему вместе с ребром принадлежит и ребро , поэтому матрица будет симметричной.

Справедливо и обратное утверждение: любой симметрической матрице с целыми неотрицательными элементами можно поставить а соответствии граф.

Матрица смежности дуг орграфа – это квадратная матрица n – го порядка ( n – число дуг ). Строки и столбцы матрицы соответствуют дугам графа. Элементы равны 1, если дуга непосредственно предшествует дуге и 0 в остальных случаях.

Матрицей смежности ребер неориентированного графа является матрица n – го порядка ( n – число ребер ) с элементами равными 1, если ребра и имеют общую вершину, и 0 в остальных случаях.

Матрицей инцидентности ориентированного графа с n вершинами и m ребрами называется матрица В с n строками и m столбцами, элементы которой определяется следующим образом

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Дан граф ( рис.17 ). Составить матрицу вершин и определить полустепени хода и исхода вершин.

Рис. 17

Решение. Граф содержит пять вершин, поэтому матрица будет пятого порядка ( табл. 1 ).

	0	0	1	1	2	4
	0	0	1	1	0	2
	2	0	0	0	0	2
	0	0	0	0	2	2
	0	0	1	1	0	2
	2	0	3	3	4

Из вершины идет по одной дуге в вершины и и две дуги в вершину , поэтому элементы матрицы равны 1, = 2. Поскольку других дуг с начальной вершиной не существует, остальные элементы первой строки матрицы равны 0. Аналогичным рассуждением находится и все остальные элементы матрицы. Полустепени захода ( исхода ) вершин определяются суммированием элементов столбцов ( строк ) составленной матрицы. Полустепени захода ( исхода ) вершин определяется суммированием элементов столбцов ( строк ) составленной матрицы.

Пример 2. По данной матрице смежности вершин построить наглядное изображение графа

Решение. Поскольку данная матрица является симметричной матрицей четвертого порядка с неотрицательными элементами, то ей соответствует неориентированный граф с четырьмя вершинами. Расположив вершины , , …, на плоскости произвольным образом ( рис. 18 ), соединяем их с учетом кратности ребер. Так, элемент = 2, поэтому вершина инцидентна двум ребрам, начала и концы которых совпадают с этой вершиной ( петли ). Поскольку , то вершины и соединены одним ребром, так как , то ребра ( , ) не существует ( вершины и не соединяются). Вершины и соединяются тремя ребрами, и т. д.

Рис. 18

Пример 3. По данной матрице смежности дуг построить наглядное изображение графа

Решение. Три первых столбца матрицы состоят из нулей. Это означает, что у дуг и нет непосредственно предшествующих дуг, а потому их можно изобразить исходящими из одной общей вершины. Элемент = 1. Это означает, что за дугой непосредственно следует дуга . По аналогичной причине за дугой идут дуги и , следовательно, и должны оканчивается общей вершиной, из которой и исходит дуга . Ввиду того, что последние три строки матрицы состоят только из нулей, дуги , и не имеют следующих непосредственно за ними дуг. По этой причине их можно направить в одну общую вершину. Граф смежности дуг показан на рис. 19

Рис. 19.

Пример 4. Дано множество A = {1, 2, 3, 4, 5}. На этом множестве задано отношение x > y.

Построить орграф и график этого отношения.

Решение. Построим орграф этого отношения . Для этого изобразим все элементы множества А точками на плоскости и проведем стрелку от каждого большого числа к меньшему (рис. 20 ).

Рис. 20. Орграф отношения

Напомним, что графиком бинарного отношения на множестве А называется множество точек ( х, у ) в некоторой прямоугольной системе координат таких, что Чтобы найти все пары точки ( x, y ) таких, что x > y, выпишем все пары на и подчеркнем те точки, для которых x > y.

( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 )

( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 )

( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 )

( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 )

( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 )

Рис. 21. График отношения

Отношение x > y обладает следующими свойствами:

1. Оно антирефлексивно, так как ни для каких х не имеет места x > x, орграф отношения не имеет петель.

2. Оно асимметрично, так как для двух чисел имеет место только соотношение x > y.

3. Оно транзитивно, так как если x > y и y > z, то x > z, орграф отношения является транзитивным, т.е. существуют замыкающие дуги: и влечет и т.д.

Пример 5. Задана матрица

Нарисовать на плоскости орграф G = ( X, U ), единственный с точностью до изоморфизма, имеющий заданную матрицу В своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности орграфа G.

Решение. Заданная матрица смежности В имеет 4 строки и 4 столбца, следовательно, орграф имеет 4 вершины. Обозначим их соответственно , , , . Матрицу В перепишем в виде

.

Построим на плоскости 4 точки и обозначим их , , , .

Рис. 22. Изоморфный орграф G = ( X, U ).

Так как , то при вершине нет петель, , значит из вершины исходят 2 стрелки к вершине . Рассуждая таким же образом, построим геометрический орграф, изоморфный орграфу G = ( X, U ), для которого матрица В является матрицей смежности ( рис. 22 ).

Теперь запишем матрицу инцидентности С для орграфа G.

Построенный орграф G = ( X, U ) имеет 4 вершины и 12 дуг, т.е. Х={ , , , },

U= .

Матрица инцидентности орграфа G будет иметь 4 строки и 12 столбцов

Петле соответствует нулевой столбец. Матрица инцидентности только указывает на наличие петель в орграфе, но не указывает, каким вершинам эти петли инцидентны.