2. Операции над графами

Объединением графов и называется граф , множество вершин которого , а множество ребер ( рис. 10 ).

Пересечением графов называется граф , для которого - множество ребер, а - множество вершин ( рис. 11 ).

Рис. 10.

Рис. 11.

Используются и такие операции как кольцевая сумма, удаление ( добавление ) вершины, удаление ( добавление ) ребра, произведение графов и т.д.

3. Деревья. Лес.

Деревом называют конечный связной граф с выделенной вершиной ( корнем ), не имеющий циклов ( рис. 12 ).

Рис. 12. Граф – дерево

Одну из вершин, например , принимают за начальную, которая называется корнем дерева.

Лесом называется граф без циклов, представляющий собой совокупность деревьев ( рис. 13 ).

Рис. 13. Лес

Наиболее характерные свойства деревьев, которые одновременно служат эквивалентными определяющими дерева, сформулированы в следующей теореме.

Теорема 5. Граф G (X, U) является деревом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:

граф G (X, U) связан и не содержит циклов;

граф G (X, U) не содержит циклов и имеет n – 1 ребро;

граф G (X, U) связан и имеет n – 1 ребро;

граф G (X, U) не содержит циклов, но добавление ребра между несмежными вершинами приводит к появлению одного и только одного элементарного цикла;

граф G (X, U) связный, но утрачивает это свойство после удаления любого ребра;

в графе G (X, U) всякая пара вершин соединена цепью, и только одной.

Итак, дерево с n вершинами имеет n – 1 ребро, поэтому оно будет минимальным связным графом. Висячие вершины, за исключением корневой, называются листьями.

Пусть G – неориентированный связный граф, имеющий n вершин и m ребер. Цикломатическим числом связного графа G и n вершинами и m ребрами называется число

.

Цикломатическое число дерева равно нулю.

Цикломатическое число леса равно сумме цикломатических чисел составных связных компонентов – деревьев и, следовательно, тоже равно нулю. Для остальных графов цикломатические числа – положительные.

Например, для полного графа ( имеющего пять вершин и ребер ) цикломатическое число равно

4. Эйлеровы и гамильтоновы графы

Эйлеровым называется цикл в графе, содержащий все ребра графа.

Эйлеровым графом называется связный граф, в котором есть эйлеровый цикл. Эйлеровый граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий ( рис. 14 ).

Рис. 14. Эйлеров граф

Теорема 6. Граф G является Эйлеровым тогда и только тогда, когда G – связный граф, имеющие все четные вершины.

Гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа.

Гамильтоновым циклом называется гамильтоновая цепь, начало и конец которой совпадают.

Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется гамильтонов цикл ( рис.15 ).

Рис. 15. Гамильтонов граф

Граф G называют p – хроматическим, где p – натуральное число, если его вершины можно раскрасить p – различными цветами так, чтобы никакие две смежные вершины не были раскрашены одинаково.

Наименьшее число р, при котором граф является р - хроматическим, называют хроматическим числом графа и обозначают . Если = 2, то граф называется бихроматическим. Необходимым и достаточным условием в графе циклов нечетной длины.

Например, граф на рис. 16 бихроматический, его вершины “раскрашены” двумя “цветами”, обозначенными 0 и 1.

Рис. 16. Бихроматический граф.